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学习无捷径，考试有方法
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 要点诠释：
(1)外角的特征有三条：
①顶点在三角形的一个顶点上．如下图：∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点． ②一条边是三角形的一边．如：∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
③另一条边是三角形某条边的延长线．如：∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 (2)三角形有六个外角，每个顶点处有两个外角，但算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外 角和是指三个外角的和，三角形的外角和为360°；和外角有共同顶点的内角叫做和这个外角相邻的内角，它们是互补的，互为邻补角，另外两个内角叫做和这个外角不相邻的内角．
知识点三：三角形内角和外角的性质
1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. （1）推理过程：如图所示，
因为∠ACD+∠ACB=180°（邻补角定义）， ∠ACB+∠A+∠B=180°（内角和定理）， 所以∠ACD=∠A+∠B（等式性质）．
（2）作用：①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”； ②可证一个角等于另两个角的和； ③经常利用它作为中间关系式证明两个角相等。
2. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如上图所示，∠ACD>∠A或∠ACD>∠B． 作用：利用它证明两个角不相等的关系． 要点诠释：
这两个结论称为三角形内角和定理的推论．它可以当作定理直接使用．利用它证明角不等时，应设法把求证中的大角放在三角形的外角位置上，把小角放在内角位置上，也可以把它们的一部分放在外角或内角的位置上。 注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思．即 “和它不相邻”的意义
三、规律方法指导
1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件； 在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小.
2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角.
3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系. 4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便.
基础过关作业
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1．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．
2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=______度． 4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（ ）
（1）最小内角是20°； （2）最大内角是100°； （3）最大内角是89°； （4）三个内角都是60°； （5）有两个内角都是80°．
A．（1）、（2）、（3）、（4） B．（1）、（3）、（4）、（5） C．（2）、（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（4）、（5） 5．如图1，∠1+∠2+∠3+∠4=______度．
(1) (2) (3) 6．三角形中最大的内角不能小于_______度，最小的内角不能大于______度． 7．△ABC中，∠A是最小的角，∠B是最大的角，且∠B=4∠A，求∠B的取值范围． 8．如图2，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于D，求∠ABD的度数． 综合创新作业
9．（综合题）如图3，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=_________．
10．（应用题）如图7-2-1-4是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检验模板是否合格？
11．（创新题）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，?∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数．
12．（2005年，福建厦门）如图，已知，在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D． （1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．
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13．（易错题）在△ABC中，已知∠A=11∠B=∠C，求∠A、∠B、∠C的度数． 35培优作业
14．（探究题）（1）如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB?的平分线相交于点D，求∠BDC的度数． （2）在（1）中去掉∠A=42°这个条件，请探究∠BDC和∠A之间的数量关系．
15．（开放题）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，作BC边上的高AD，?图中出现多少个直角三角形？又作△ABD中AB边上的高DD1，这时，图中共出现多少个直角三角形？按照同样的方法作下去，作出D1D2，D2D3，?，当作出Dn-1Dn时，图中共出现多少个直角三角形？
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答案:
1．70° 2．B 3．90 4．C 5．280 6．60；60 7．解：设∠B=x，则∠A=
1x． 45x． 415而∠A≤∠C≤∠B．所以x≤180°-x≤x．?即80°≤x≤120°．
44由三角形内角和定理，知∠C=180°-8．解：设∠ABC=∠C=x°，则∠BAC=4x°．
由三角形内角和定理得4x+x+x=180． 解得x=30．
∴∠BAC=4×30°=120°．
∠BAD=180°-∠BAC=180°-120°=60°． ∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°．
点拨：∠ABD是Rt△BDA的一个锐角，若能求出另一个锐角∠DAB．
就可运用直角三角形两锐角互余求得．
9．132° 点拨：因为∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-66°-54°=60°，
且AD?是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠DAC=30°． 在△ABD中，∠ADB=180°-66°-30°=84°． 在△ADC中，∠ADC=180°-54°-30°=96°． 又DE平分∠ADC，所以∠ADE=48°．
故∠BDE=∠ADB+∠ADE=84°+48°=132°． 10．
解：设计方案1：测量∠ABC，∠C，∠CDA，
若180°-（∠ABC+∠C）=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°
同时成立，
则模板合格；否则不合格．
设计方案2：测量∠ABC，∠C，∠DAB，
若180°（∠-ABC+∠C）=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°
同时成立，
则模板合格；否则不合格．
设计方案3：测量∠DAB，∠ABC，∠CDA，
若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°
=20°同时成立，
则模板合格；否则不合格．
设计方案4：测量∠DAB，∠C，∠CDA，
若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同时成立， 则模板合格；否则不合格．
点拨：这是一道几何应用题，借助于三角形知识分析解决问题，?对形成用数学的意识解决实际问题是大有益处的．
11．解法1：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，
∴∠BAC=60°．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=
11∠BAC=×60°=30°． 22
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∵AD是BC上的高，∴∠B+∠BAD=90°， ∴∠BAD=90°-∠B=90°-75°=15°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-15°=15°．?
在△AEC中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-45°-30°=105°． 解法2：同解法1，得出∠BAC=60°． ∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=
11∠BAC=×60°=30°． 22∵AD是BC上的高，∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠DAE=∠CAD-?∠CAE=45°-30°=15°． ∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°，
∴∠AEC+30°+45°=180°，?∴∠AEC=105°． 答：∠DAE=15°，∠AEC=105°． 点拨：本节知识多与角平分线的定义，余角的性质，平行线的性质，三角形高的定义综合应用，有时也结合方程组、不等式等代数知识综合应用．求角的度数的关键是把已知角放在三角形中，利用三角形内角和定理求解，或转化为与已知角有互余关系或互补关系求解，有些题目还可以转化为已知角的和或差来求解． 12．（1）证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°， ∴∠ABC=60°． 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°． ∴∠BAC=∠ABD，∴BD=AD． （2）解法1：∵∠C=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°． ∴
1（∠BAC+∠ABC）=45°． 211∠BAC，∠ABP=∠ABC； 22 ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC， ∴∠BAP=
即∠BAP+∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°=135°． 解法2：∵∠C=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°． ∴
1（∠BAC+∠ABC）=45°． 211∠ABC，∠PAC=∠BAC， 22 ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC， ∴∠DBC=
∴∠DBC+∠PAD=45°．
∴∠APB=∠PDA+∠PAD=∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°． 13．解：由∠A=
11∠B=∠C知，∠B=3∠A，∠C=5∠A． 35 设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°．
由三角形内角和定理得x+3x+5x=180． 解得x=20．
∴3x=60，5x=100．
∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°．
点拨：解此类题，一般设较小的角为未知数．