f(x)?x2?1?2x?(x?1)2,0?x?1
例2［2］、在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点p(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数，(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1,1)处切线与x轴平行。
解：见图，所求曲线为y?f(x)，于是其在p(x,y)点处的曲率为：
k?y??(1?y?)322?y??(1?y?)322
y y=f(x) (∵曲线为凹的，∴y???0)
曲线y?f(x)在p(x,y)点处的法线方
P(x,y) o x 1程：Y?y??(X?x)(y??0)
y?它与x轴的交点Q的坐标
Q(x?yy?,0)，
于是PQ?(yy?)2?y2?y(1?y?)， 由题设k?y??(1?y?)3221221， PQ即?1y(1?y?)122
?yy??1?y?2——这是不显含x的方程 初始条件为，y|x?1?1，y?|x?10 令y??p,y???pdp，于是方程变为 dyyp
dppdy ?1?p2?dp?2dyy1?p6
1?ln(1?p2)?lny?c1， 2代入y?|x?1?0，得c1?0
?p2?y2?1?p??y2?1，
积分得ln(y?y2?1)??(x?1)?c2 代入y|x?1?1，得c2?0 故所求曲线为：
y?1y2?1?e?(x?1)，即y?(ex?1?e?(x?1))
2例3［3］、已知曲线过(1,1)点，如果把曲线上任一点P处的切线与y轴的交点记作Q，则以PQ为直径所做的圆都经过点F(1,0)，求此曲线方程。
解：见图
所求曲线设为y?f(x)
于是切线方程为Y?y?y?(X?x) 切线PQ与y轴的交点Q的坐标为
M Q o F(1,0) y=f(x) P(x,y) x y Q(0,y?xy?)
设M点为切线段PQ的中点，坐标为
xy???x?,y??
2??2∵圆经过点F(1,0) ∴MQ?MF
1??12yy?y?1??于是得方程?xx ①
??y|x?1?1令y2?z，则方程①
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11122?(y2)??y2?1??z??z?2? ② 2xxxx2dz2(1)z??z??dx?lnz?2lnx?lnc
xzxz?cx2
(2)令z?c(x)x2为②的解，代入并整理，得
c?(x)x2??2??c(x)?222?c?(x)??2?3 xxx21~?2?c xx?21~?2~x2 故②的通解为：z???2?c?x?2x?1?c?xx?~x2， 即方程的通解为y2?2x?1?c~?0 代入初值y|x?1?1，得c故所求曲线为y2?2x?1
例4［1］、在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状。
解：取光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，(见图)。 设所求曲面由曲线
?y?f(x) ① ??z?0 y T M α1 绕x轴旋转而成，则求反射镜面问题归结为求xy平面上的曲线
ααN 1 2 y?f(x)的问题。
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o P x Z 过曲线y?f(x)上任一点M(x,y)作切线NT
则由反射定律：入射角等于反射角，容易推知?1??2 从而OM?ON 注意到
dyMP ?tg?2?dxNP及OP?x,MP?y,OM?x2?y2 就得到函数y?f(x)所满足的微分方程式
dyy这是齐次方程。 ?22dxx?x?y设??y，将它化为变量分离方程求解 x得y2?c(c?2x) c为任意常数
故反射镜面的形状为旋转抛物面y2?z2?c(c?2x)
二、常微分方程在机械振动中的应用
常微分方程与物理联系甚为广泛，下面我们就一起来看一下常微分方程在机械振动中的应用，常微分方程解决力学问题需要：
建立坐标系，对所研究物体进行受力分析； 根据牛顿第二定律F?ma，列方程； 解方程。
下面，让我们从实例中体会常微分方程在力学中的作用。
例1［2］：一个质量为m的船以速度v0行驶，在t?0时，动力关闭，假设水的阻力正比于vn，其中n为一常数，v为瞬时速度，求速度与滑行距离的函数关系。
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解：船所受的净力=向前推力-水的阻力=0?kvn， 加速度=速度对时间的导数，即a?于是，由题设有
?dvn?m??kv ?dt??v|t?0?v0dv， dt现在要求的不是速度与时间的关系，而是速度与距离的关系，设距离为x，于是，上述方程可化为：
dvdvdxdvm?m??mv??kvn dtdxdtdx?mv1?ndv??kdx (※)
mv2?n当n?2时，两边积分，得??kx?c
2?n2?nmv0把v|t?0?v0,x|t?0?0代入上式，得c?
2?n故v2?n??k(2?n)2?n x?v0m当n?2时，(※)?mv?1dv??kdx， 积分得v?cek?xm，
将初值代入，得c?v0 故v?v0e?kxm
例2［2］、两个质量相同的重物挂于弹簧下端，其中一个坠落，求另一个重物的运动规律，已知弹簧挂一个重物伸长为a。
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