解：如图所示，建立坐标系设弹簧 l 自由状态时长度为l，取l?a处(即挂一重物时弹簧的长度)为坐标原点，取xa 轴铅直向下，设在t时刻，重物在x处，mg 由虎克定律知，此时弹性恢复力为
x · ?kx,k为弹性系数，负号“—”是因为x 弹性恢复力与位移反向，由牛顿第二定律有：
??md2xdt2??kt???x(0)?a ??x?(0)?0??∵挂两重物时，弹簧伸长2a，由虎克定律有：
2mg?k?2a?k?mga ∴方程?d2xgdt2??ax，
其特征方程：?2??g????gaa 于是方程通解为x?cg1cosat?cg2sinat x???cg1asingat?cgg2acosat 把初始条件x(0)?a,x?(0)?0代入以上两式 得c1?a,c2?0
∴所求重物的运动规律为x?acosgat
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2a 2mg 例3［1］ 数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点M在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周动运。如图所示，试确定摆的运动方程。
解：设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角?的正方向，质点M沿圆周的切向速度v可以表为v?ld?作用于质点M的重dt o ?l 力mg将摆拉回平衡位置A。把重力mg分解为两个分量MQ和MP，第一个分量MQ沿着半径
OM的方向，与线的拉力相抵消，它不会引起
M A P mg Q 质点M的速度v的数值改变，因为MP总是使质
点M向着平衡位置A的方向运动，即当角?为正时，向减小?的方向运动，当角?为负时，向增大?的方向运动，所以MP的数值等于?mgsin?，因
dvd2?g此，摆的运动方程是m??mgsin?，即2??sin?。
dtldt(1)如果只研究摆的微小振动，即当?比较小时的情况，我们可以取
sin?的近似值?代入上式，这样就得到微小振动时摆的运动方程：
d2?g???0 2ldt(2)如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿摆的运动方向就存在一个与速度v成比例的阻力，若阻力系数为?，则摆动方程为
d2??d?g????0。 2mdtldt(3)如果沿摆的运动方向恒有一个外力F(t)作用于它，这时摆的运动
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d2??d?g1称为强迫微小振动，其方程为：2????F(t)。
mdtlmldt当要确定摆的某一个特定运动时，我们应给出摆的初始状态：当t?0时，???0，
d??w0。 dt这里?0代表摆的初始位置，w0代表初始角速度。
例4［3］：生产实践中很多机械问题都归结为弹性振动问题，下面便是一个弹簧振动的典型例子。设有弹性系数c而自
然长度为l的弹簧竖着悬挂着。它的上端固定，下端悬挂，一个质量为m的物体，物体受到垂直干扰力f?f1(t)，求物体的运动规律所满足的微分方程。
解：如图所示，取通过悬挂点的直线为x轴，向下记为正方向，原点取在系统平衡位置，为确定物体运动规律，先分析它的位置，x?x(t)处的受力情况。
(1) 弹簧弹性力f0，依虎克定律f0??c(??x)，其中?为弹簧在物体重力作用下的伸长量。
(2) 物体所受重力p?mg
(3) 介质阻力R与物体运动速度成正比，与运动方向相反，
l δ x=x(t) x R???v???dx dt其中?为常数，称为阻尼系数。 (4) 重力干扰力f?f1(t)
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因此，这时物体所受合外力
dxF?f0?p?R?f??c???x??mg???f1(t)
dt再由牛二定律，得方程：
d2xdxm2??c???x??mg???f1(t)
dtdt由于系统的平衡位置处，弹性力f0??c?与重力p?mg平衡，故有
?c??mg?0
于是上述方程写成
d2xdxm2???cx?f1(t) ①
dtdt若记
?m?2n，
f(t)c?k2 1?f(t) mm则①可写成
d2xdx2?2n?kx?f(t) ② 2dtdt这就是该物体在外力f(t)作用下运动规律。
x?x(t)所满足的微分方程
若物体振动过程中，未受外力干扰，即f(t)?0，则微分方程
d2xdx2?2n?kx?0 2dtdt三、常微分方程在电磁振荡中的应用
建立起实际问题的数学模型一般是比较困难的，因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰的了解，如前面所求的力学问题就要对牛二定律有清楚的认识，同时也需要有一定的数学知识，为了要建立起实
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际问题的数学模型，一定要学习有关的自然科学和工程技术的专业知识，微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型，我们在建立微分方程的时候，只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素，而把其它一些次要因素忽略掉，如果的确考虑到了那些最主要的因素，那么，我们所得到的微分方程，它的解和所考虑的物理现象就是比较接近的，这时，我们得到的数学模型是有用的，否则，我们还应考虑其它一些因素，以便建立起更为合理的数学模型，为了解决热电学问题，需要了解其中的一些基本规律，如下面将用到牛顿冷却定律，其内容为热量总是从物体中温度高的向温度低的物体传导；在一定温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度差值成比例，等等，我们将在实例中一一解答。
常微分方程解决电磁振荡问题通常建立起电热学问题的数学模型，也就是反映这个实际问题的微分方程。
求解这个微分方程。用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。
接下来，就让我们从实例中体会常微分方程在电热方面的应用。 例1［1］. R?L电路，如图，它包含电感L，电阻R和电源E，设t?0时，电路中没有电流，我们要求建立：当开关k闭合后，电流I应该满足的微分方程，假设R,L,E都是常数。
解：为了建立电路的微分方程，我们引用关于电路的基尔霍夫第二定律：
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k E R L