生1：学习平行四边形的面积时把它通过割补转化成长方形，根据等积变形找到它们之间的关系，得出平行四边形的面积。
生2：学习圆柱的体积时把它转化成近似的长方体，就推导出了圆柱的体积。 师：其实，以往平面图形的面积、立体图形的体积一般情况下是通过转化为已学图形的面积、体积来学习新知识的。那么对于圆锥的体积的学习，你认为和以前学习的哪个立体图形有关系？
生3：我觉得圆锥的体积和圆柱的体积有关系，和长方体、正方体没关系。
生4：虽然圆柱的体积可以转化为近似的长方体求出体积，但是圆锥应该和圆柱有关。 生4：我也是这样认为的，因为它们的底面是相同的圆。 师：那你们猜一猜圆锥的体积应该怎样计算呢？ 生5：用底面积×高
生6：不可能是底面积乘高，肯定比这个乘积小。 师：那你感觉是多少呢？
生6：我感觉可能是底面积乘高的一半。
生7：我也这么认为的。因为圆柱是长方形或正方形沿着一条边旋转360°得到的；而圆锥是直角三角形的其中一条直角边旋转360°得到的，直角三角形是长方形的一半，所以体积也应该是一半。
师：好！既然大家都同意，我们就试一试。圆锥和什么样的圆柱有关系？体积之间又有什么关系？
老师给学生准备了一些圆柱，有等底不等高的，有等高不等底的，还有等底等高的。学生开始尝试，在倒水过程中，有的圆柱和圆锥之间没有关系；有的正好能够倒3次，就能把圆柱倒满。于是从正好能够倒3次这个数据，思考什么样的圆柱和圆锥有这样的关系？
生5：把圆锥往圆柱里一放，正好是等底等高的圆柱才有这样的关系。 生6：等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍。
（执教者：吴正宪） 每个小组亲自尝试后，得出结论，知道了为什么要往等底等高的圆柱里倒水，不往长方体的容器中倒水的原因，积累了数学活动经验和思考问题的经验。在这个过程中，有以下四方面的特点：
①学生的操作是有目的、经过思考后的验证，不再是盲目的操作工：操作是基于动作表征，所有的操作是为了概念的形成，为了让学生逐步形成表象表征和语义表征做基础，使学
生既知其然又知其所以然。
②学生理解了转化的方法：所有的平面图形的面积都是转化成已学过的图形来推导计算方法的，立体图形的体积也不例外。
③结论的形成有逻辑层次，不是直接对应的结论的达成，真正让学生经历知识的形成过程，把“原来的等底等高的圆柱和圆锥有关系这一最终的结果”分成三个层次：圆锥的体积和哪个立体图形的体积有关？圆锥的体积和什么样的圆柱有关？圆柱的体积和等底等高的圆柱有怎样的关系？层层的递进，最终聚焦到要解决的问题，这种层层缩小包围圈，筛选排除的方法是数学常用的方法。
④学生在知识迁移过程中能不断纠正自己的认知偏差：圆柱是由长方形的长或宽旋转一周得到的，圆锥是由直角三角形的其中一条直角边旋转一周得到的，有一大部分学生猜圆锥应该是和它等底等高圆柱体积的二分之一。这里学生对于二维空间和三维空间之间的有些是可以类比的，有些不能类比还体会不深刻。通过操作了使学生能纠正自己的认知偏差，体会操作对于结论正确与否的价值性。
【教学片段2】它有名字吗？（六年级下）
在学完正比例之后，老师让学生根据图像、图表让学生判断哪些是成正比例的量。
表1
表2
生1：图像1中，正方形周长和边长成正比例，因为它们的比值总是4。 生2：表1速度是每小时行90千米是一定的，所以时间和路程成正比例的量。 生3：图像1好像不成比例，因为它们比值不一样，差一定，小明和小东相差3岁。 生4：我也同意。因为图像1和图像2虽然都是一条直线，但是它们的起点不同，一个是从（0，0）开始的，一个是从（0，3）开始的。
师：你入木三分，观察仔细，表达准确！抓住了概念的本质！观察是我们进行数学思考非常重要的载体。
生5：表2是燃烧的长度和剩余的长度都是10。和一定，也不是成正比例。 生6：像表2和图1既不是正比例也不是反比例，那它是什么？在数学上有名字吗？ 师：你真与众不同！提出了一个很好的问题，其实提出一个问题比解决一个问题更重要。这是我们初中学习的新知识，有兴趣的同学可以先去查一查资料。
生7：刚才说的这件事和我们经常说的“和一定，一个加数和另一个加数”不成比例时一回事。
师：你用联系的观点把两件事统一成一件事了，多了不起呀！
（执教者：邸丽） 学生在对比中产生问题，这种意识是难能可贵的，老师对此加以肯定和评价，鼓励学生会提问题，这是你们初中要学习的其它函数，也就是一次函数：如果把燃烧长度看作x，把剩余长度看作y，那么x+y=10。从函数的角度说，它是一次函数。老师的简单介绍是基于学生的疑惑。由此可见，学生的思考离不开对疑惑的追问。
在每节数学课结束时，老师们都会问：“这节课你有什么收获？还有什么不懂的问题”这个小环节不能形同虚设，应该充分利用，倾听学生的心声，了解他们的所思所想所感所惑，并对学生给予恰当的评价与积极的等待，适当的时候给予渗透和回应。只有这样，学生才会不断思考，敢于暴露自己的想法。
《课标》（2011年）指出“要培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力”，而在以前的课标中仅仅提到“分析问题和解决问题”，这是一个重大变化。培养学生的问题意识和创新能力，不是一朝一夕可以完成事情。教师要在学习过程中指导学生学会提问，通过评价促进学生的问题意识。具体的说，可以从以下方式鼓励学生提出问题，例如，激励学生与众不同，帮助学生跳出书本，思考数学价值等等。
（2）解疑课解惑，和学生一起思考
有经验的老师能给学生留一些创意性的作业，比如知识拓展性的问题。也可以给学生留
一些探究性的小课题，需要的时间可能会长一点，但是学生在解决整个问题的过程中，自主学习的能力、创新能力等一定能得到锻炼。对这些创意作业和探究成果可以通过集中展示、教师引导的“欣赏”、学生之间交流评价等方式给予积极评价，鼓励更多的学生自主学习和创新。
老师会需要一个月或一个固定的时间内反馈学生的问题。如一个月内可以利用活动课时间专门来让学生一起交流问题，其它同学解答。在讨论交流中，随着知识的学习，有一些问题可以随之解决，有的问题解决不了，老师不忙于给学生答案。既可以接着研讨，还可以让学生查阅资料等。
【教学片段3】我的竖式简单，为什么不用我的这种方法？（三年级下）
三年级小学生在学习竖式除法时，有的学生算48÷2，用的是一层竖式，老师讲的时候，需要用两层竖式，解释分的过程。明明我这种方法既简单又正确，老师和书上为什么不用我的一层竖式呢？
在除法竖式这个单元学完之后，学生自己就明白了，像792÷5这样的计算，不是一眼就能分出结果，而且每一位都有余数，就需要逐层去分，这样更清晰。
数学的学习就是学生不断感悟、逐步开窍的过程，就是学生不断生疑—解疑—生疑的过程，这样的过程引领着学生不断思考，体会着思考的快乐与幸福。
（3）教师暴露自己的思考过程：和学生一起分享
在教学过程中，学生会问许多问题，尽管我们有时把握不准，尽管学生的问题有时不着边际，也应该让学生提，培养他们的质疑能力，教师所要做的工作就是倾听、筛选。最重要的是教师要和学生一起思考问题，从习以为常的经验中会反思和追问。
教师要能暴露自己的思考路径，教学中为什么要提出这些问题供大家思考，遇到情境可以从哪些方面提出问题，遇到这些问题后应该从哪些角度来分析，解决了这个问题又可以提出哪些新的问题。启发学生思考的最好的办法是教师与学生一起思考，一起发现和提出问题，一起分析和解决问题。
学生在五年级学习了三角形的内角和是180°，接着要学习三角形三边关系。让学生猜测三角形三条边之间的关系，三条边是定值吗？经过思考否定后进一步想：两条边的长短与第三条边有关系吗？有什么关系？
有些知识是可以类比迁移的，像商不变的性质、分数的基本性质、比的基本性质；有些知识学习过程中是需要产生认知冲突的，与此同时收获的是不同思考问题的方式。
在做习题时，老师也需要引导学生，和学生一起分享不同的思考方法。如：“甲乙二人
分别从两地出发相向而行，8小时相遇，若每人都少行1.5千米，则10小时到达。求甲乙两地相距多少千米？”
学生通过画图后列出算式：1.5×2×8=24（千米）
24÷（10-8）=12（千米）
12×10=120（千米）
算完了，学生就认为完事大吉了。此时，老师可以引导学生：
师：这种做法是我们四年级学习的方法，你能够用六年级学习的知识来解答吗？我是这样想的：这道题属于我们学过的与速度、时间、路程有关的问题，刚才你用的是在整数范围内解决这类问题，其实还可以用分数来解答，请你试试。
生：哦，我知道了，8小时相遇就是1小时行总路程的错误！未找到引用源。，每人每小时都少行1.5千米，合起来1小时少行3千米，10小时相遇就是1小时行总路程的错误！未找到引用源。。所以3÷（错误！未找到引用源。 — 错误！未找到引用源。）。
师：随着知识的增长，需要从不同角度思考问题，而且这些知识就能够形成网络，在自己脑中建构一条知识链。
史宁中校长说：“创新能力的基础创新能力依赖于三方面:知识的掌握、思维的训练、经验的积累,三方面同等重要。关于“知识的掌握”,我国的中小学数学教育是没有问题的；关于“经验的积累”，大概还差得很多；关于“思维的训练”,我们做得也不够,只能打五十分。那么为了创新型国家的建立我们现在的教育只做了一半的工作.我们没有更多地在基础教育阶段教孩子如何去创新,帮他们从小的事情、小的发现开始积累经验,没有这样的意识是不行的。”（ www.worlduc.com/blog20...aspx?bid=11... 《数学课程标准》的若干思考（一）史宁中）
在教学过程中教师要重视从双基到四基的变化，落实从双能到四能，帮助学生积累数学活动经验，从头到尾想问题，培养他们发现问题、提出问题的意识，增强他们分析问题和解决问题的能力。在教学中体现过程，抓住联系，凸显思考，注意层次。
培养学生发现问题和提出问题的能力，绝非一朝一夕，需要我们有意识地创设情境，针对学生的年龄特点，分学段逐步进行引导，而且要贯穿在数学课程的各个领域，重点把综合实践活动的学习落到实处，从而把学生的智慧与能力落到实处。 吴老师支招