一、 矢量分析
如果在全部空间或部分空间里的每一点都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。如果此物理量是数量，该场称为数量场；如果是矢量，该场称为矢量场。
电磁场是分布在三维空间的矢量场，而矢量分析是研究电磁场在空间分布和变化规律的基本数学工具之一，因此本节主要讨论标量场的梯度，矢量场的散度、旋度，在此基础上介绍亥姆霍兹定理。 一、标量场的梯度
梯度是由方向导数引出的概念，方向导数反映了函数u(M)在给定点处沿某个方向的变化率。在直角坐标系中，可证明如下定理
定理
若函数u(x,y,z)在点M（x,y,z）处可微，对照图（1.1），cosα、cosβ、cosγ为L
的方向余弦，则函数u(x,y,z)在点M处沿L方向的方向导数必存在，且由如下公式给出：
?u?l??u?xcosα??u?ycosβ??u?zcosγ
（1.1）
其中
图（1.1）
?u?u(N)?u(M)??u?u?u是在点M处的偏导数 ,,?x?y?z
?u?x
?x?证：因u=u(x,y,z)在点M可微，故有
?u?y?y??u?z?z?w.?，其中w在??0时趋于零，将上式两端除
以?，得
?u???u?x?x???u?y?y???u?z?z??w,即
?u???u?xcosα??u?ycosβ??u?zcosγ?w
令??0取极限，注意到此时有w?0，从而得到公式（1.1）
方向导数公式（1.1）可以改写成：
?u?l?G?l?，其中G??u?xi??u?yj??uk，?zl??cosαi?cosβj?cosγk。显然，G在给定点处为固定矢量，当直线L方向与矢量G方向
一致时，即cos(G,l?)?cos0?1时，方向导数取得最大值：
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?u?l?G?l??Gcos(G,l?)?G （1.2）
可见，矢量G的方向就是函数u(x,y,z)变化率最大的方向，G正好是最大变化率的值。
我们把G叫做函数u(x,y,z)在给定点处的梯度。
梯度有2个重要的性质：
1．由（1.2）式可知，方向导数等于梯度在该方向上的投影，写作：
?u?l?gradlu??u
2． 数量场u(x,y,z)中每一点M处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数u(x,y,z)增大的一方向。
因为u(x,y,z)在等值面上过任意点的任意方向导数为零，则梯度G??u在等值面上投影总为零，投影为零？所以梯度G??u垂直于过该点的等值面。
又由于函数沿梯度方向的方向导数
?u?l?G?l??G?0，说明函数沿梯度方向是增大的。
即梯度指向函数u(x,y,z)增大的方向。例如，如果E????，则说明E指向函数?减小的方向且?值的变化率最大。 二、矢量场的散度
散度定义为矢量场A(M)在点M处的通量体密度的极限，记作
???VdivA???A?lim?V?M?lim???sA?dS?V?M?V，?V是?S包围的空间区域。下面的定理给出了它
在直角坐标系中的表达式：
定理
在直角坐标系中，矢量场A=P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k在任一点M
?P?x??Q?y??R?z（x,y,z）处的散度为divA?
?P?x?Q?y?R?z证：由高斯公式??????sA?dS????sPdydz?Qdxdz?Rdxdy????(?V??)dV，
?V，其中M*为?V内某一点，由此??再根据中值定理有??????y?z?M*??x??P?Q?R?divA?lim???V?M??P?Q?R??lim???当?V缩向点M时，M*就趋于点M，所以??V?M?V?x?y?z??M* 7
divA??P?x??Q?y??R?z
由此定理，高斯公式可以写成如下矢量形式：??A?dS??s????VdivAdV????V??AdV
三、矢量场的旋度
环量面密度定义为矢量场A(M)在点M处的环量对面积的变化率，记作
?n?lim??lA?dl?S，在直角坐标系中，设A=P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k，借助斯托
?S?M克斯（G.G.Stokes）公式，用证明散度divA的方法可得到环量面密度
?n?(Ry?Qz)cosα?(Pz?Rx)cosβ?(Qx?Py)cosγ，其中cosα,cosβ,cosγ为?S在点M处的法向
矢量的方向余弦。
类比方向导数与梯度的关系，得到矢量场A(M)在某点的旋度，记作
,rotA的方向为环量面密度最大的方向，
rotA???A?(Ry?Qz)i?(Pz?Rx)j?(Qx?Py)krotA为环量面密度的最大值。
四、散度、旋度的物理意义
1．由散度定义可知，divA表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量A的通量。若
，则该点无通量源。
divA?0，则该点有产生矢量线的通量源；若divA?0 vA?0，如果矢量场A的散度处处为0，即di则称该矢量场为无散场，即该点无通量源。
例如，在静磁场中??H?0处处成立说明恒定磁场不是由通量源产生的，且磁场线不是向四周发散的而是闭合曲线。
3． 对旋度而言，rotA?0则说明环域内有产生该矢量场的漩涡源。这种源与通量源不同，在这种场中矢量线不汇聚也不发散，而是闭合曲线。例如在静磁场中，??H?J处处成立说明恒定磁场是由漩涡源产生的且磁场线是闭合曲线。
如果矢量场A的旋度处处为0，即??A?0，则称该矢量场为无旋场，即该点无漩涡源。例如，在静电场中??E?0处处成立表明静电场不是由漩涡源产生的，且电场线不是闭合曲线而是向四周发散。 五、亥姆霍兹定理
可以证明：在有限区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一确定，且
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可表示为： F(r)???u(r)???A(r)
u(r)?14?14?????F(r?)r?-rr?-rVdV??dV??14?14???e??F(r?)nS其中
A(r)?r?-rr?-rdS?????F(r?)V??e??F(r?)nS
dS? （1.3）
这就是亥姆霍兹定理，它表明：
1．矢量场F(r)具有的性质可由F(r)的散度与旋度说明。
2．考虑到??(?u)?0、??(??A)?0，因而矢量场可表示为无旋场与无散场之和。 3． 对于无界空间，只要矢量场满足F(r)?1r?-r1?? (??0)，则式（1.3）中的面
积分为0，此时矢量场F(r)由其散度与旋度唯一确定，这说明在无界空间中??F(r)、
??F(r)处处为0是不可能的，因为任何物理场必须由场源产生。
4． 在有限区域内如果??F(r)、??F(r)处处为0，则F(r)由其在边界面S上的场分布完全确定。
必须指出，只有在F(r)连续的区域内，??F(r)与??F(r)才有意义。因为??F(r)、
??F(r)着对空间坐标的导数。在区域内如果存在F(r)不连续的表面，则在这些表面上
F(r)的偏导数就不能全部存在，因而无法计算??F(r)、??F(r)，也就不能用散度、旋
度来分析表面附近的场的性质。
亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理定理总结了矢量场的基本性质，其意义是重要的。分析矢
量场时总是从研究它的散度和旋度着手，得到的散度与旋度方程组成了矢量场的基本方程的微分形式；或者从矢量场沿闭合曲面的通量和沿闭合路径的环量着手，得到矢量场的基本方程的积分形式。 六、坐标系
场论中梯度、散度、旋度的概念有其明确的物理意义，都是与坐标系无关的。前面介
绍了它们在直角坐标系中的表达式，但是在许多实际应用中采用直角坐标系将会自找麻烦。引入一般的正交曲线坐标系可以简化与坐标系有关的问题。由于电磁场线的特点，柱面坐标系、球面坐标系是电磁学中常用的正交曲线坐标线。如果想避开坐标系的概念进行一般性讨论，则需借助张量分析这个数学工具。
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二、电磁场的基本规律
电磁学的三大实验定律（库仑定律、安培定律、法拉第电磁感应定律）的提出，标志着人类对宏观电磁的认识从定性阶段到定量阶段的。以三大实验定律为基础，麦克斯韦作了四个假设，进而归纳总结出描述宏观电磁现象的总规律——麦克斯韦方程。
本节先从基本实验定律引入电磁场的场量，并讨论其散度与旋度，然后讨论媒质的电
磁特性和麦克斯韦方程，最后讨论电磁场的能量、动量。 一、静态电磁场量的旋度、散度
1．电荷守恒定律与电流连续性方程
根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合曲面S内流出的电荷量应等于闭合曲面S所限
定的体积V内的电荷减少量，即
??SJ?dS??dQdt?????dtdV?dV?????d?dtVdV （2.1）
如果在式（2.1）中的V是全空间，S为无穷远界面，由于在S上没有电流流出，因而
式（2.1）左边的面积分为零，由此得
???dtdV?dV?0，这表示全空间的总电荷守恒。
??dV?0，因为闭合面S是任意取?
???应用高斯公式，式（2.1）可改写为??????J?V?t?的，因此S限定的区域V也是任意的，故从此式得：
??J????t?0
（2.2）
此式称为电流连续性方程的微分形式。
当研究恒定电流场时，要维持电流不随时间改为改变，就要求电荷分布也不随时间改
S变，因此对于恒定电流场必然有：??J?dS????V(??J)?dV?0，因为闭合面S是任
意取的，因此S限定的区域V也是任意的，故从此式得：??J?0
这表明恒定电流场是一个无散场，根据亥姆霍兹定理可知??J?0，即电流J是漩涡
源。本小节的概念在后面谈到位移电流时还会提及。
2．静电场强度E的旋度、散度、高斯定理
静止电荷产生的电场是静电场，根据基本实验定律——库仑定律，得到点电荷在位矢
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