一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y = f（x+1）+f（x－1）的定义域为 。
?练习：已知函数f(x)的定义域是??1,2? ，求函数f??log1?3?x?? 的定义域。
??2??例2：已知函数f?log3x?的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 练习：定义在?3,8?上的函数f(x)的值域为??2,2?，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。
例3.①对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. ② R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .
例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.
练习： 1. f(x)的定义域为(0,??)，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f(2)?
2.如果f(x?y)?f(x)f(y),且f(1)?2,则f(2)f(4)f(6)f(2000)?????的值是 f(1)f(3)f(5)f(2001) 。
f2(1)?f(2)f2(2)?f(4)f2(3)?f(6)f2(4)?f(8)???? f(1)f(3)f(5)f(7) . 3、对任意整数x,y函数y?f(x)满足：f(x?y)?f(x)?f(y)?xy?1，若f(1)?1，则f(?8)? A.-1 B.1 C. 19 D. 43 4、函数f(x)为R上的偶函数，对x?R都有f(x?6)?f(x)?f(3)成立，若f(1)?2，则f(2005)=（ ）
A . 2005 B. 2 C.1 D.0 例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)
x?1?例6、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,f?x??f????1?x ,求f(x)
?x?的解析式。
例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x). 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:
①f(n)>0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出
函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.
例9、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x?)?f(x?)恒成立，当x??2,3?时，
f(x)?x，则x?(?2,0)时，函数f(x)的解析式为（ ）
3212 A．x?2 B．x?4 C．2?x?1 D． 3?x?1
五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）
练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。 六、奇偶性问题
例13. （1）已知函数f(x)(x≠0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(x
﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。 （2）已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足?1?f(x?y)?f(x)是奇函数。
证明：设t=x-y,则f(?t)?f(y?x)?数。
f(y)f(x)?1f(y)f(x)?1????f(t)，所以f(x)为奇函
f(x)?f(y)f(y)?f(x)f(x)f(y)?1，求证：
f(y)?f(x)
七、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称） ．．．编号 周 期 性 对 称 性 f?x?a??f??x?a?→对称轴x?a?y?f?x?a?是f?x?a??f?x?a?→偶函数； f?x?a???f??x?a?→对称中心（a,0）1 T=2a ?y?f?x?a?是奇函数 f?a?x??f?b?x?→对称轴x?2 f?a?x??f?b?x?→T=b?a a?b； 2f?a?x???f?b?x?→对称中心(a?b,0)； 2f(x)= -f(x+a)→3 T=2a f?a?x???f?b?x?→?f(x)= -f(-x+a)→对称中心??,0? a?2?4 5 T=2b?a F(x)=±F(x)=1-1→T=2a f?x?1?f(x)?0?→f?x?a?f?a?x???f?b?x?→对称中心??a?b?,0? 2??ab?22??f(x)= b-f(-x+a)→对称中心??,? 6 T=3a 结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|
(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|
(3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|
(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于x?b?ab?a,0)对称 对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点(22 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）
例17：①已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = – f (x)，则f (6)的值为（ B ）
A. –1 B. 0 C. 1 D. 2
解： 因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0。
②函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。（x=1/2）
（重庆）已知函数f?x?满足：f?1??，4f?x?f?y??f?x?y??f?x?y??x,y?R?，则
f?2010?=_____________.
14解析：取x=1 y=0得f(0)? 法一：通过计算f(2),f(3),f(4)........，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)，联立得f(n+2)= —
1 2例18. 已知函数y=f(x)满足f(x)?f(?x)?2002，求f?1?x??f?1?2002?x?的值。
12f(n-1) 所以T=6 故f?2010?=f(0)=
解：由已知式知函数的图象关于点（0，1001）对称。据原函数与其反函数的关系，知函数y=f-1(x) 的图象关于点（1001，0）对称,所以
??f?1?1001?x??0,即f?1?x??f?1?2002?x?=0 f?1?x?1001例19. 奇函数f (x)定义在R上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x)，则在区间［0，2T］上，方程f (x) = 0根的个数最小值为（ ） A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个
解：∵f (0) = 0→x1= 0， 又f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0→ x2 = T，x3 = 2T.
T?又因为f??x????2?T??f?x?? 令
2??T??T??T?x = 0得f???f??f??????,∴
?2??2??2??T??3T?f???f??=0.(本题C 易错选为A) ?2??2?例20．① f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。求a的值。
解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称 又∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称 ∴T=8 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6
②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x [2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a为常数且a R) （1）求f(x); （2）是否存在a [2,6]或a (6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解：（1）设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x)).
∵y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称. ∴点N(2-x,f(x))在y=g(x)图象上.
由此得f(x)=g(2-x)（利用结论4的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称）
设x [-1,0]，则2-x [2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3
又f(x)为偶函数?f(-x)=f(x),x? [-1,1]. ∴当x? [0,1]时，f(x)=2ax-4 x3
（2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在[0,1]上的最大值. (ⅰ)当a (2,6]时，由0 x 1得a-2x2＞0，
f(x)=2x(a-2 x2)= 即x==486>
≤ =（当且仅当4 =a－2 ,
[0,1]时等号成立）. 由题意知,f(x)的最大值为12,令 =12得 ,∴a>6,这与a (2,6]矛盾,故此时满足条件的a不存在. (ⅱ)当a=2
) 同理可证 f(x)=
(当且仅
且0≤x≤1时,f(x)=4x(1－当20+- =1- ,即x=
时等号成立),也与已知矛盾.(ⅲ)当a>6时,设 )=2a(- +
)-4(
- )=2( - +
+ )[a-2(
+
,则f( )-f( )]，由题设0<
+
<0∴f( )-f(
<3,a>6，∴a-2( )>0，又
)<0即f( ) 时 =f(1)=2a-4。令2a-4=12,解得a=8 (6,+∞),适合题意. 因此,综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)知,存在a=8 (6,+∞),使得函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上. 练习1、函数y?f(x?1)是偶函数，则y?f(x)的图象关于 x=1 对称。 2、函数y?f(x)满足f(x?3)??1，且f(3)?1，则f(2010)? -1 。 f(x)