3、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(?x)?f(?x),则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)? 解析：法一：因f(x)为奇函数且关于x?对称，T=2,可借助图象解答，得结果为0. 小结：此方法为数形结合法 法二：因f(x)为奇函数且关于x?1对称，类比f(x)?sinx联想函数f(x)?sin?x 2121212?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?0, 小结：此方法为抽象函数具体化法
4、已知函数y?f(2x?1)是定义在R上的奇函数，函数y?g(x)是y?f(x)的反函数，若x1?x2?0则g(x1)?g(x2)?( )
A）2 B）0 C）1 D）-2
解析：法一：(函数具体化)设f(x)?x?1符合题意，则g(x)?x?1则
g(x1)?g(x2)?(x1?1)?(x2?1)?(x1?x2)?2??2，
法二：y=f(2x-1)是R上的奇函数→f(-2x-1)=-f(2x-1)，即f(-2x-1)+f(2x-1)=0，由反函数的关系就可以取g(x1)+g(x2)=-2x-1+(2x-1)=-2.
5.设f(x)是R的奇函数,f(x+2)= — f(x),当0≤x≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)= - 0.5 6.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)= .0
7、 f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ D ）
A.4 B.5 C.6 D.7 8、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=
2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.
解:由已知得 f(x)=-f(4-x)① 又当x [1,2]时,4-x [2,3],∴f(4-x)=(4-x) -2(4-x) ②
∴由①②得f(x)=- (x- 4) +2(4-x) ∴当x [1,2]时,f(x)=-x +6x-8
x1= f(-2x-1),x2= f(2x-1),所以
9、（山东）已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则
x1?x2?x3?x4?_________.-8
八、综合问题
例21. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意
有，且当x>0时，0 ，若 A?B??，试确定a的取值范围。 解：（1）在在所以当 时 中，令中，令 ,而 ，得,因为当 ，因为时，,所以 ，均有 。 ，所以 。 实数m，n，总 ， 又当x=0时，设所以 ，则 ，所以，综上可知，对于任意 .所以 在R上为减函数。 ,即有,由 ，所以 （2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以又 ，根据函数的单调性，有 直线与圆面无公共点。因此有，解得。 评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 例22.设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 1(1)解不等式f(3x?x2)?4,;(2)解方程[f(x)]2?f(x?3)?f(2)?1. 2解:(1)先证f(x)>0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1. xxx又f(x)?f(?)?[f()]2?0,假设存在某个xo?R,使f(xo)?0,则f(x)=f[(x-xo)+xo]=f(x-xo)f(xo)=0, 222与已知矛盾，故f(x)>0,任取x1,x2∈R且x1 f(x1)-f(x2)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]>0. 所以x∈R时,f(x)为增函数. 解得:{x|1 (2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化为:[f(x)]2+4f(x)-5=0,解得f(x)=1或f(x)=-5（舍) 由(1)得x=0. 例23.定义在(?1,1)上的函数f(x)满足:(1)对任意x,y?(?1,1),都有f(x)?f(y)?f(1111f()?f()???f(2)?f(). 11193n?5n?5x?y) 1?xy(2)当x∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数； （Ⅱ）解:(1)易证f(x)是奇函数。 （2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. 1???11??(?)???(n?2)(n?3)11n?3??f(1)?f(1) ??f?n?2又f(2)?f()?f??111(n?2)(n?3)?1?n?2n?3n?5n?5??1??1??(?)?(n?2)(n?3)??n?3?????n?2111111111?f()?f()???f(2)?[f()?f()]?[f()?f()]???f()?f() 111934453n?3n?5n?51111又f()?0,?f()?f()?f().命题成立 n?33n?33函数综合 1.奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致（在整个定义域内未必单调），推广：函数在其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的远近。解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域。关注具体函数“抽象化”。 [举例1]设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-∞，0）上递增，则f(a+1)与f(b+2) 的大小关系是 A.f(a+1)=f(b+2) B.f(a+1)＞f(b+2) C.f(a+1)＜f(b+2) D.不确定 解析：函数f(x)=loga|x-b|为偶函数，则b=0，f(x)=loga|x|,令g(x)=|x|,函数g(x)（图象为“V”字形）在（-∞，0）递减，而函数f(x)=logag(x) 在（-∞，0）上递增,∴0f(b+2),故选B。 [举例2] 设函数f(x)?x3?x，若0≤?≤时，f(msin?)?f(1?m)?0恒成立，则实数m的取值范围是 解析：此题不宜将msin?及1-m代入函数f(x)?x3?x的表达式，得到一个“庞大”的不等式，因为运算量过大，恐怕很难进行到底。注意到：函数f(x)为奇函数，原不等式等价于：f(msin?)?f(m?1)，又函数f(x)递增，∴msin?>m-1对0≤?≤恒成立，分离参变量m（这是求参变量取值范围的通法）得：m< 1,（0<1- sin?1?sin??2?2≤1,事实上当sin?=1时不等式恒成立，即对m没有限制，所以无需研究）,记g(?)= 1,则m 1,且f(x)在[-3，-2]上是减函f(x)?是钝角三角形的两锐角，数，又?、则下列结论中正确的是: A.f(sin?)>f(cos?) B. f(sin?) 2．关注“分段函数”。分段函数的反函数、值域一般分段求，分段函数的奇偶性、单调性一般要借助于图象。f(x)=max{g(x),h(x)} 、f(x)=min{g(x),h(x)}也是一种分段函数,作出它的图象是研究这类函数的有效途径。 ?sinx当sinx?cosx时给出下列四个命题： ?cosx当sinx?cosx时?① 该函数的值域为[-1,1]，②当且仅当x?2k??(k?Z)时，该函数取得最大值1， 2[举例]对于函数f(x)??③该函数是以?为最小正周期的周期函数，④当且仅当 2k????x?2k??3?(k?Z)时,f(x)?0 上述命题中错．误．的命题个数为2（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：作出函数y=f(x)在[?， 2?3?]上的图象如右（先分别2作函数y=sinx,y=cosx 的图象，观察图象，保留两者中之较“高”者）。从图象上 ?2,1]，当x?2k??(k?Z)或x?2k?时函数取得最大 223?值1，该函数是以2?为最小正周期的周期函数，当且仅当2k????x?2k??(k?Z)2时,f(x)?0，∴命题中错误的命题个数为3个，选C。 ．． 不难看出：该函数的值域为[- [巩固]已知f(x)??是 。 ?(3a?1)x?4a,x?1是（-?，+?）上的减函数，那么a取值范围 ?logax,x?13.研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数性质、已知函数值域研究定义域等一般用函数图象（作图要尽可能准确）。 [举例1]若在[0,]内有两个不同的实数值满足等式cos2x?3sin2x?k?1,则k的范 2?围是 ???)，∵x∈[0,]，将2x?视为一个角?，?∈626?7??7?[,],作函数y?2sin?在[,]上的图象（注意：无需作函6666?数y=2sin(2x?)的图象），容易看出，当y=k+1∈[1，2)时， 6O 函数y?2sin?与函数y=k+1的图象有两个交点，此时k∈[0，1)。 解析：cos2x?3sin2x=2sin(2x?[举例2]不等式x2?1?ax的解集为[1,2)，则a的值为 解析：分别作函数y?x2?1和函数y?ax的图象如右，（函数y?x2?1即x2?y2?1，y?0，双曲线在x轴上方的部分）。两图象交于M点，要使不等式解集为[1,2)， 3。 2[巩固]已知函数f(x)=log2x的定义域为[a,b]，值域为[0，2],则a,b满足： 则M（2，3），即a?141 A．a=,b=1或 a=1,b=4, B．a=，1≤b≤4, C．≤a≤1,b=4, D. a=，1≤b≤4或≤a≤1,b=4。 4. 求最值的常用方法：①单调性：研究函数在给定区间内的单调情况是求函数值域的最重要也是最根本的方法。②基本不等式：满足条件“一正、二定、三相等”时方可使用，如果“不相等”，常用函数y?x?,(a?0)的单调性解决。③逆求法：用y表示x，使关于x的方程有解的y的范围即为值域，常用于求分式函数的值域，判别式法就是其中的一种。 ④换元法：需要把一个式子看作一个整体即可实施换元，“三角换元”是针对“平方和 等于1”实施的，目的多为“降元”；求值域时的换元主要是为了“去根号”。⑤数形结合。 x2?2x?2(x??1)，[举例1]已知函数y?则其图象的最低点的坐标是 （ ） x?1 A、（1，2） B、(1,?2) C、（0，2） D、不存在 ax14141414解析：求函数图象的最低点的坐标即求函数当x取何值时函数取得最小值，最小 值是多少； 此题不宜“逆求”（判别式法），因为⊿≥0不能保证x>-1（这是使用“判别式法”时需特别注意的）。记x+1=t,(t>0),此时x=t-1,设 (t?1)2?2(t?1)?2t2?11??t??2(当且仅当t=1即x=0时等号成立，g(t)=（注意这里 ttt的“换元”实质是“整体化”的具体落实，将需要“整体化”的部分换成一个变量，比“凑”更具一般性也更易实施），选C。 1的最小值为 ab1解析：本题关注ab的取值范围，对ab?使用基本不等式，当且仅当ab=±1时等 aba?b21)?，∴等号不成立，即不能使用基本不等式。记号成立，事实上：0?ab?(241111117ab=（, ab?=t+=g(t),函数g(t)在（0，]上递减，∴g(t)min=g()=。 t0 4abt444[举例2]已知a?b?1,a,b?R+，则ab?5.求参变量的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的值域或最值；也可以整体研究函数y=f(a,x)的最值。 [举例] 关于x的方程22x-m2x+4=0(x<0)有解，求实数m的取值范围。 解析：令2x=t,(0 m?t?4=g(t)，所谓方程有解，即m在函数g(t)的值域内（这也是解决方程有解问t题的通法），∵t∈（0，1），∴不能使用基本不等式（等号不成立），注意到函数g(t)在（0，1）上递减，∴g(t)∈（5，??）即m∈（5，??）。 [迁移]若函数f(x)=loga(x2-ax+3),(a>0且a?1)满足:对任意x1,x2,当x1 A.(0,1)∪(1,3) B.(1,3) C. (0,1)∪(1,23) D. (1,23) 简答 1. [巩固] 函数y=f(x)的图象关于x=2对称，得a=5,图示可得1 ?,移项得211sin? 73[提高] 函数y=f(x)的周期为2，得f(x)在[0，1]上递增，又?+?< [巩固]D；