第十讲 导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势：
综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：
（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.
（2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.
【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
例1．（2007年北京卷）f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 ． 32[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
2[解答过程] ?f?(x)?x?2,?f?(?1)???1??2?3.
故填3.
例2. ( 2006年湖南卷）设函数f(x)?x?a,集合M={x|f(x)?0},P={x|f'(x)?0},若MP,则实数
x?1a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由x?a?0,?当a>1时,1?x?a;当a<1时,a?x?1.x?1x?aa?1?x?a?x?1??x?a??y?,?y/????0. ??22x?1x?1???x?1??x?1?/
?a?1.
1
综上可得MP时,?a?1.考点2 曲线的切线
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题
例3.（2007年湖南文）已知函数f(x)?极值点．
（I）求a2?4b的最大值；
（II）当a2?4b?8时，设函数y?f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数y?f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y?f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I）因为函数f(x)?21312，，(1，3]内各有一个x?ax?bx在区间[?11)321312，，(1，3]内分别有一个极值点，x?ax?bx在区间[?11)32所以f?(x)?x?ax?b?0在[?11)，，(1，3]内分别有一个实根， 设两实根为x1，x2（x1?x2），则x2?x1?a2?4b，且0?x2?x1≤4．于是
0?a2?4b≤4，0?a2?4b≤16，且当x1??1，x2?3，即a??2，b??3时等号成
立．故a2?4b的最大值是16．
（II）解法一：由f?(1)?1?a?b知f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程是
21y?f(1)?f?(1)(x?1)，即y?(1?a?b)x??a，
32因为切线l在点A(1，f(x))处空过y?f(x)的图象， 所以g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?21?a]在x?1两边附近的函数值异号，则 322
x?1不是g(x)的极值点．
而g(x)?131221x?ax?bx?(1?a?b)x??a，且 3232g?(x)?x2?ax?b?(1?a?b)?x2?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)．
若1??1?a，则x?1和x??1?a都是g(x)的极值点．
所以1??1?a，即a??2，又由a2?4b?8，得b??1，故f(x)?解法二：同解法一得g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?13x?x2?x． 321?a] 3213a3?(x?1)[x2?(1?)x?(2?a)]． 322因为切线l在点A(1，f(1))处穿过y?f(x)的图象，所以g(x)在x?1两边附近的函数值异号，于是存在m1，m2（m1?1?m2）．
当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0； 或当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0． 设h(x)?x2??1???3a?3a??x?2????，则 2?2??当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0； 或当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0． 由h(1)?0知x?1是h(x)的一个极值点，则h(1)?2?1?1?所以a??2，又由a2?4b?8，得b??1，故f(x)?3a?0， 213x?x2?x． 3例4.（2006年安徽卷）若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）
A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0 [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4，而y??4x3，所以y?x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0.
3
故选A.
例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+5=0相切的直线的方程为 ( )
2A.y=-3x或y=1x B. y=-3x或y=-1x C.y=-3x或y=-1x D. y=3x或y=1x
3333[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为y?kx,?kx?y?0. 又?x?2?2??y?1?2?5,?圆心为?2,?1?.
2?2k?1k2?1?51,?3k2?8k?3?0.?k?,k??3. 231?y?x,或y??3x.
3故选A.
31?由 解法2:由解法1知切点坐标为(1,?3),??,?,22?22?5??(x?2)??y?1?????,??x??2?x22//?2(x?2)?2?y?1?yx/?0,x?2?yx??.y?1/
1?.31(,)322?k1?yx/13(,?)22??3,k2?yx/1x.3?y??3x,y?故选A.
例6.已知两抛物线C1:y?x2?2x,C2:y??x2?a, a取何值时C1，C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.
思路启迪：先对C1:y?x2?2x,C2:y??x2?a求导数.
解答过程：函数y?x2?2x的导数为y'?2x?2，曲线C1在点P(x1,x12?2x1)处的切线方程为
22y?(x1?2x1)?2(x1?2)(x?x1)，即 y?2(x1?1)x?x1 ①
曲线C1在点Q(x2,?x22?a)的切线方程是y?(?x2?a)??2x2(x?x2)即
y??2x2x?x22?a ②
4
若直线l是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是l的方程，故得
22x1?1??x2,?x1?x2?1，消去x2得方程，2x1?2x1?1?a?0
2若△=4?4?2(1?a)?0，即a??1时，解得x1??1，此时点P、Q重合.
22∴当时a??1，C1和C2有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为y?x?1 .
24考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）; 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例7．（2006年天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点. 故选A.
例8 .（2007年全国一）设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及
y y?f?(x)b aO x x?2时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的x?[0，3]，都有
f(x)?c2成立，求c的取值范围．
思路启迪：利用函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值构造方程组求a、b的值． 解答过程：（Ⅰ）f?(x)?6x?6ax?3b，
因为函数
2f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．
即?
?6?6a?3b?0，
?24?12a?3b?0．5