专题8 解析几何
一、填空题
例题1. 设圆C：x2?y2?4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A,B，则AB的最小值为 ▲ ． 答：4
提示：方法一 取特殊的直线AB：横截距与纵截距相等。方法二不妨设切点P（第一象限），
?POA??,则?POB?
?2??,故AP?2tan?，BP?21tan?故AB=AP+BP?4
例题2. 过直线 l:y?3x上一点P作圆C:?x?3???y?1??2 的两条切线，若两切线关于
22则点 P 到圆心 C 的距离为 ▲ ． 直线 l 对称，答：10 提示：由圆的平面几何知识可得CP?l
例题3. 已知⊙A：x2?y2?1，⊙B: (x?3)2?(y?4)2?4，P是平面内一动点，过P作
E?PD⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，若P答：
，则P到坐标原点距离的最小值为 ▲ ．
11 5提示：利用切线长公式求出点P的轨迹为直线3x?4y?11?0，故P到坐标原点距离的最小值为
11 5x2y2例题4. 已知F是椭圆C:2?2?1 (a?b?0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与
ab??12圆x?y?b相切于点Q，且PQ?QF，则椭圆C的离心率为 ▲ ．
422答：
5 3提示：设左焦点E，连接PE，由圆的切线可得OQ?PF，而OQ∥PF，故
PE?PF,?b2?(2a?b)2?4c2，?e?5。 3，0)作圆：
x2y2（备用题）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点F(?c,0)c(?ab
????1????????a2x?y?的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OE?(OF?OP)，
2422则双曲线的离心率为 ．
e?10 2x2y2??1的左，右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1，若?ABF2的内切圆的周例题5. 椭圆
2516长为?,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y2?y1|= . 答：
5 3提示：利用S?BAF2?
11r(BA?BF2?AF2)?F2F1y2?y1 22例题6. 已知正方形ABCD的坐标分别是(?1,0),(0,1),(1,0)，动点M满足：(0,?1)，
kMB?kMD??答：22
1 则MA?MC? ▲ ． 2提示：设点M的坐标为(x,y)，∵kMB?kMD??1y?1y?11???． 整理，得，∴2xx2x2?y2?1（x?0），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为A,C两点，所以2MA?MC?22
（备用）如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与点F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 .（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况）
椭圆
xx2y2?y2?1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点, 例题7. 椭圆??1和双曲线362则?PF1F2的面积为 ▲
2
答：2
提示：先利用定义求PF1，PF2，再用余弦定理求得 cosP?
22例题8. 设椭圆C:x2?y2?1(a?b?0)的上顶点为A，椭圆C上两点P,Q在x轴上的射影分
ab1，最后用面积公式 33，过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于21点B，?AF1B的外接圆为圆M． 若直线3x?4y?a2?0与圆M相交于E,F两点，且
4别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为
????????1ME?MF?? a2，则椭圆方程为
222答：x?y?1
16122?b提示：由条件可知P??c,??a??b2? ?，Q???c,??a????13，所以得：e?。
22a?2c,b?3c，所以，A0,3c,F1??c,0?,B?3c,0?，从而M?c,0?。
????????a1半径为a，因为ME?MF?? a2，所以?EMF?120?，可得：M到直线距离为
22因为kPQ???22从而，求出c?2，所以椭圆方程为：x?y?1；
1612
x2y2例题9. 以椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F(?c,0)为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准
ab线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．
答：(2,1) 2b2?c 提示：焦准距c2y2xF,F例题10. 已知12分别是双曲线2?2?1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，abPF22若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围为 . PF1答：(1,3]
2PF2?PF1+a??PF1?4a?8a，故PF提示：2=1?2a?c?a PF1PF1PF12
x2y2??1（?为锐角）的右焦点F，P是右支上任意一点，例题11. 已知双曲线22cos?sin?
以P为圆心，PF为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于PF，则?= 答：
? 6提示：先利用双曲线的第二定义求出离心率，再求?
x2y2（备用题）已知椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直
ab线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若?PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于 ▲ 答：
3提示：利用FM?3PF可得 3x2y2例题12. 设椭圆C:2?2?1(a?b?0)恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的
ab最小值▲ 答：5?2
提示：令a2?m,b2?n，消元可得：椭圆的中心到准线的距离=f(m)，再求之
x2y2??1的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A,B两点，若Q在直例题13.如果P为椭圆
259????????????????线l上,且满足|AP||QB|?|AQ||PB|，则点Q总在定直线 上．
答：x??25 4提示：取特殊的左准线，并取特殊点（-
25,0）验证之 4x2y2y22例题14. 已知椭圆 C1:2?2?1（a?b?0）与双曲线 C2:x??1有公共的焦
ab4点，C2的一条渐近线与以C1 的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1 恰好将线段AB三
等分，则b2=__________________. 答：
1 2提示：直线AB为y?2x代入椭圆求弦长MN=
a1222，再用a?b?5可得b? 32（备用）例题15下图展示了一个由区间（0，k）（其k为一正实数)到实数集R上的映射
过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1;将线段AB围成一个离心
率为3的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆2放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在X轴上，已知此时点A的坐标为（0，1)，如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度.图3中直线AM与直线y= ?2交于点N(n,—2)，则与实数m对应的实数就是n，记作f(m)=n,
现给出下列命题：①.
象关于点(，0)对称；⑤f(m)=
；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④.的图
时AM过椭圆右焦点.
其中所有的真命题是_______ (写出所有真命题的序号） ③、④、⑤
二、解答题
例15．平面直角坐标系xoy中，直线x?y?1?0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6 （1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于ｘ轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于ｘ轴于点
（ｍ，０）和（ｎ，０），问ｍｎ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
1解：⑴因为O点到直线x?y?1?0的距离为， ………………………2分
2 所以圆O的半径为(12故圆O的方程为x2?y2?2． ………………4分
xy⑵设直线l的方程为??1(a?0,b?0)，即bx?ay?ab?0，
abab111?2，即2?2?， ……………6分 由直线l与圆O相切，得ab2a2?b2)2?(62)?2， 2