11?)≥8， a2b2当且仅当a?b?2时取等号，此时直线l的方程为x?y?2?0．………10分 DE2?a2?b2?2(a2?b2)(⑶设M(x1,y1)，P(x2,y2)，则N(x1,?y1)，x12?y12?2，x22?y22?2，
xy?x2y1xy?x2y1,0)，m?12直线MP与x轴交点(12，
y2?y1y2?y1xy?x2y1xy?x2y1,0)，n?12直线NP与x轴交点(12， …………………14分
y2?y1y2?y1x1y2?x2y1x1y2?x2y1x12y22?x22y12(2?y12)y22?(2?y22)y12mn?????2，
y2?y1y2?y1y22?y12y22?y12故mn为定值2． …………………16分
例16．（本题满分16分）已知圆O：x2?y2?1，点P在直线l:2x?y?3?0上，过点P作圆O的两条切线，A,B为两切点，
(1) 求切线长PA的最小值，并求此时点P的坐标；
(2) 点M为直线y?x与直线l的交点，若在平面内存在定点N(不同于点M)，满足：对
于圆 O上任意一点Q，都有（3）求PA?PB的最小值； 解：（1）设点P(x0,y0)
QN为一常数，求所有满足条件的点N的坐标。 QMPA2?PO2?1?x0?y0?1?x0?(2x0?3)2?1?5x0?12x0?8
=5(x0?)?故当x0?22226524 56632，即P(,)时，PAmin? 5555（2）由题：??2x?y?3?0，M(1,1)
?y?x22设N(a,b)，Q(x1,y1)，满足x1?y1?1
QN2(x1?a)2?(y1?b)2则???(??0) QM2(x1?1)2?(y1?1)2整理得：2(a??)x1?2(b??)y1?(a?b?1?3?)?0，对任意的点Q都成立，可得
22
1????2?a???0???1?1???b???0解得 ，或a??a?1（舍） ??2?b?1?(a2?b2?1)?3????1??b?2?即点N(,)满足题意。
11222(PO2?1)?1) （3）PA?PB?PA?cos?APB?PA(2cos?APO?1)?(PO?1)(PO22222=PO?22922932??3t?PO?[,??)(t?)?1?t?[,??)上恒PO?,，令,而在22PO5tt552910414???3???1?? t595945463所以(PA?PB)min??，当P(,)时取得
5545大于0，故t?
x2y2例17．如图，正方形ABCD内接于椭圆2?2?1(a?b?0)，且它的四条边与坐标轴平
ab行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都
在第一象限．
（I）若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2． ①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切； ②求椭圆的标准方程．
（II）设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e?k是定值．
2?????????解：（Ⅰ）①依题意：A(2,2)，M(4,1)，E(0,?2)?AM?(2,?1),AE?(?2,?4)
????????? ?AM?AE?0?AM?AE ?3分
?AE为Rt?ABE外接圆直径?直线AM与?ABE的外接圆相切； ?5分
?42?42?1x2y2?ab??1． ?10分 ②由?解得椭圆标准方程为
161205??a2?b2?1 （Ⅱ）设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，
x2y2 则A(s,s)，M(s?2t,t)，代入椭圆方程2?2?1得
ab?? ???1s?ts2s2????12s2(s?3t)b25t?s?aa2b22?e?1?2? ?14分 ??2214ta4t(s?2t)t??1??b2?s2(s?3t)22abt?st?s?2e2?k?2为定值． ?15分 ?(s?2t)?s2t ?k?
x2y2例18．（本题满分16分）如图，已知椭圆2?2?1(a?b?0)，左、右焦点分别为F1,F2，
ab右顶点为A，上顶点为B, P为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若S?PF1F2?S?PAF2,求椭圆的离心率；
（2）若S?PF1F2?S?PAF2?S?PBF1，求直线PF1的斜率k； （3）若S?PAF2、S?PF1F2、S?PBF1成等差数列，椭圆的离心
y B F1 O F2 P A x
k率e??,1???，求直线PF1的斜率的取值范围.
解：（1）∵S?PF1F2=S?PAF2 ∴F1F2?F2A
1?4?1…………………………2′ 3的直线方程为y?k(x?c)， （2）设PF1 ∵S?PF1F2=S?PBF1
∵a-c=2c ∴e= ∴
1b?kc12kc…………………………4′ PF1·?PF1·2222k?1k?1 ∴b-kc=2kc
∴b=3kc
∵a=3c∴b=22c ∴k=(3)设S?PF1F2=t，则S?PAF2?∵P在第一象限 ∴k?
22…………………………7′ 3a?ct…………………………8′ 2cb c
b?kcS?PBF1S?PF1F2?k2?1?b?kc 2kc2kck2?1b?kc·t…………………………9′ 2kca?cb?kct?·t ∴2t=2c2kc ∴4kc?ak?ck?b?kc ∴k(6c?a)?b
b ∴k?…………………………11′
6c?abb1?。∴?e?1。 ∴
56c?ac11又由已知?e?1，∴?e?1。…………………………12′
44b2a2?c22 ∴k?=
36c2?12ac?a236c2?12ac?a2 ∴S?PBF1?m?11?e21?e2m?6e?1e? ==（令，∴）……13′ 22636e?12e?1(6e?1)m?12)2136?m?2m?16 == 2236mm1352(??1) =
36m2m11 ∵?e?1，∴?m?5。
421115?2。∴0?k2?∴?。
5m41?(∴0?k?
（备用）例19．如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片
15。…………………………16′ 2
折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标
xoy中，设圆C：?x?1?系
2?y2?4a2?a?1?,A?1,0?,记点N的轨迹为曲线E.
⑴证明曲线E是椭圆，并写出当a?2时该椭圆的标准方程；
⑵设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离
?13?e??,?22??，求点Q的纵坐标的取值范围. 心率
解：（1）连结NA, 由题意知，直线m是线段MA的中垂线， ∴NA=NM, 而圆C的半径为2a ……………………2分 ∴NC+NA=NC+NM=CM=2a(常数)
∴动点N到两定点C, A的距离之和为常数2a， 所以，点N的轨迹是以定点C, A为焦点，长轴长为2a的椭圆
……………………4分
当a?2时，由于c?1，所以所求椭圆E的方程为
x2y2??143
……………………6分
x2y2?2?122(0,a?1) ?aa?1（2）椭圆E的方程为，其上顶点B