公式
1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a – b )
2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 4. 等差数列公式 Sn =
n =
= a1 +
+ 1
5. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) 6. 立方差公式: a3 – b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 ) 7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) = n2
8. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n+1)
9. 多数平方和公式: 12 + 22 + 32 + …… + n2 =
10. 多数立方和公式: 13 + 23 + 33 + …… + n3 = (1 + 2 + …… + n)2
11. 特种公式: 1×2 + 2×3 + 3×4 + …… + n×(n+1)
= 12 + 22 + 32 + …… + n2 + 1 + 2 + 3 + …… + n
= n(n+1)(n+2)
与因数相关的知识
1. 因数个数：分解质因数后，所有指数加1后的乘积。 2. 因数和：设A＝2a×3b×5c 那么因数和＝（20+21+…+2a）×（30+31+…+3b）×（50+51+…+5c） 3. 因数积：设A＝2a×3b×5c 那么因数积＝A因数个数/2(完全平方数除外) 4. 因数倒数和：设A＝2a×3b×5c 那么 因数和 + + =
循环小数
7：
＝0.142857
1 7 4 ＝0.285714 ＝0.428571 5 2 ＝0.571428 8 ＝0.714285 ＝0.857142
13： ＝0.076923 ＝0.153846
0 1 ＝0.230769 ＝0.384615
3 7 6 5 ＝0.307692 ＝0.461538
＝0.692307 ＝0.538461 6 2 4 3
＝0.769230 ＝0.615384 9 8 ＝0.923076
＝0.846153
排列组合进阶
※ 排列是先选再排，组合是只选不排。
= (n里选m个的数量和n里(n-m)个不选的数量是一样的) = ＝1（一个不选和全部都选只有一种情况） + + +……+ 2n(每个元素有选中和不选中两种情况)
常用方法：
1. 优限法：找出特殊的情况，先把特殊的情况分组（有可能需要细分，如0，2，4又分为0和2，4），再计算其他情况 2. 捆绑法：相邻问题，直接捆在一起，算一个，再与其他的排，注意捆在一起包内的，也 要排序，然后两个数乘积即可。 3. 插空法：求不相邻问题，那就把他们仍出去，先排剩下的，排完，再插空，查出多少个 空位再选多少个元素去插空即可。 4. 大除法：先把所有的元素排列数量求出来，再找出限定条件的元素单独排一排，并找到 限定条件后占全部限定元素排列的比率，再与所有排列数量相乘即可。 5. 插板法：都变为“至少一个”的情况，再查空位，插板，用C计算即可。 6. 排除法：正面求解困难，则利用反向求解，再用全部减去反向，可得正向解。
余数
a ÷ b = m ......n (0≤n＜b) 推论1： m为(a ÷ b)的整数部分,而n为(a ÷ b)的小数部分的b倍。 推论2： 当a、b同时扩大k倍，则商值m不变，余数n扩大k倍。 推论3： （a, b）= （b, r） 最大公因数相等，辗转相除求最大公因。
余数性质： 1. 周期性。
2. 余数的和等于和的余数。
3 余数的差等于差的余数。 虞姬每周拿着鱼叉去鱼河抓鱼。 4. 余数的积等于积的余数。
物不知数（中国剩余定理）
1. 减同余：如果一个数除以不同的数余数相同，则只需求出除数的最小公倍数，再加上余数，即为最小的被除数。 例：A÷3余1， A÷5余1，问A最小多少？ 解：3和5的最小公倍数为15，15+1＝16，A最小值为16. 2. 加同补：如果一个数除以几个不同的数，余数分别与除数互补，则只需求出除数的最小公倍数，再减去补数，即为最小的被除数。 例：A÷7余6
A÷6余5， A÷5余4，
A÷4余3，求A最小多少？
解：余数与除数互补，[7，6，5，4]＝420，420－1＝419，A最小为419. 3. 试数法：先找第一个式子满足的数，再套用第二个式子，求解。 例：A÷7余5 A÷6余3，求A最小多少？
解：试第一项满足的数：5，12，19，26，33，40
分别套用第二式，发现33满足条件，所以A最小为33，通式为33+42K。 4. 逐级满足法：用第一个式子设商值为K，然后求得被除数，代入二式，求K，即为最小的被除数。 例：A÷7余5 A÷6余3，求A最小多少？ 解：设A÷7＝K余5
A=7K+5代入第二式中，得，（7K+5）÷6余3，得7K÷6余4 当K＝4时，满足。即A=7K+5＝33，通式为A=33+42K
同余
定义：对于自然数A、B，除以相同的数m，所得的余数也相同，则称A、B 对于模m同余。表示为 A≡B（mod m）读作：“A同余于B，模m ” 推论1：若A＞B，A÷m＝X…….n B÷m＝Y…….n 那么，A-B＝（X-Y）m; m能整除A、B的差, m∣(A-B). 推论２：若A≡B（mod m），B≡C（mod m） 那么，A≡C（mod m）； 推论３：若A≡B（mod m），C≡D（mod m） 那么，（A±C）≡（B±D）（mod m）；AC≡BD（mod m） 推论4： 若A≡B（mod m），那么An≡Bn（mod m） 分数比较大小
手段一：十字相乘法
即 代表左边， 代表右边。
手段二：作差
A－B＞0 A＞B A－B＜0 A＜B
手段三：作商
＞1 A＞B ＜1 A＜B
手段四：取倒数
＞ A＜B ＜ A＞B
手段五：化小数
手段六：基准法
真分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越大
假分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越小