在 ， 之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是真分数，则 ＞ 在 ， 之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是假分数，则 ＞
手段七：通分差法（将分子分母变为差一定，再用手段六判断大小）
在 ， 之间比较大小，先将 变为 ，分子与分母差都为5，真分数，则 ＞
手段八：糖水法 （糖水的甜度＝
糖糖 水
）
模型一： ＜ (在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解为通分差) 模型二： ＜ ＜ (糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之间) 模型三：
＜ ＜ ＜ ＜
有趣的巧数
1. 33……3×33……3＝11……1088……89 n个3 n个3 n－1个1 n－1个8
推论：6666×6666＝44435556，9999×9999＝99980001，3333×6666＝22217778 3333×9999＝33326667，6666×9999＝66653334
2. 33……3×33……34＝11……122……2 n个3 n－1个3 n个1 n个2
推论：6666×3334＝22224444，9999×3334＝33336666
3. 111＝3×37 10001＝73×37 2007＝32×223 999＝27×37 10101＝3×7×13×37 2008＝23×251 11111＝271×41 1995＝3×5×7×19 2015＝5×13×31 111111＝3×7×11×13×37 1998＝2×33×37 2016＝25×3×7
4. 头同尾和10：两个两位数相乘，如首位相同，末位加和为10，则得数四位数中前两位为首位与首位加1的乘数，末两位为尾数相乘的乘数。
如：53×57＝3021，84×86＝7224，39×31＝1209……
5. 完全平方数口算：找到接近5与0的数再利用平方差公式计算 如：782＝802-（802－782）＝6400-（80+78）×2＝6400-316＝6084 762＝752+（762－752）＝5625+（76+75）＝5625+151＝5776
6. 123456789×8+9＝987654321
7. M×99……9的数字和为9K.（其中M＜99……9） K个9
8. （ + + ）×（ + + ）－（ + + + ）×（ + ）＝ × 两项乘积－两项乘积问题：把最长的算式看作小龙，则原式为：
（有头无尾小龙）×（无头有尾小龙）－小龙×（无头无尾小龙）
则结果为头尾相乘。
9. 1×2 + 2×3 +……+ n×(n+1) ＝
1×a1 + 2×a2 +……+ n×an ＝ n (n+1)×(2an+a1),a1,a2……an为等差数列
分数的分解
设 ＝ + ， 则得出： ＝ + ＝ （ 所以：（A+m）(A+n)＝A×(2A+m+n)，即A2+(m+n)A+mn＝2A2+(m+n)A 可得：A2＝mn 解题思路：只需将分母平方后分解质因数，找到一对质因数后，分别加上原分母作为等式右边的两个分母。
例：将 拆分成若干个分数单位的和。
解：12的平方＝144，而144＝1×144＝2×72＝4×36＝8×18＝…… 所以 ＝ + ＝ + ＝ + ＝ + ＝…… 要拆分成三个式子相加如何做？
先拆成两个，再将其中一个拆成两个即可。
最值问题
（1）两数和一定，则两数差越小，乘积越大，两数差越大，乘积越小。 （2）两数积一定，则两数差越小，加和越小，两数差越大，加和越大。 （3）多3少2不拆1原则。 例：14拆成几个自然数的积，求积最大值？
+
六大几何模型
1. 等积模型：平行平移模型和等高模型
2. 一半模型：
3. 鸟头模型（共角模型）
A ＝
E C B
4. 蝴蝶模型
（1）风筝模型（任意四边形）
S1×S3＝S2×S4 （对顶面积乘积相等） AO:OC＝S1：S4＝S2：S3＝（S1+S2）：（S4+S3)
（2）梯形中的蝴蝶模型（梯形）
S1＝S3
S1×S3＝S2×S4 （对顶面积乘积相等） S1：S2：S3：S4＝ ab:b2:ab:a2 梯形S对应的份数为(a+b)2
D D A S4 S1 S3 O S2 B
a S4 S1 S2 S3 C
b
5. 燕尾模型 串性：
大面积小面积
左面积右面积
××＝1 a×c×e＝b×d×f
f 左线段
（每一底边对应三对面积与线段的比） 右线段
a ＝e b ＝大面积包含的线段小面积包含的线段
d c
6. 金字塔、沙漏模型（比例模型）：形状相同，大小不同的两个三角形。 E A 如果DE平行BC，那么 （1）
D A ＝＝＝
D F E C
B （2）两个三角形面积比＝对应边长的平方比 B G C
7. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边长为a,b,斜边长为c,则有c2＝a2+b2
内弦图： 外弦图：
b b a a b-a a a 2a a a b-a b c C2 b 2c b b b a b b a a a a b b 常见勾股整数： 常见模型： 3， 4， 5；
S3 S3 5，12，13； S2 S2 7，24，25； S1 S1 8，15，17；
9，40，41； S1+S2＝S3
8. 毕克定理：计算点阵中顶点在格点上的多边形面积 S＝（n +
-1）×小四边形面积
其中：n是多边形内部的点数 l是多边形边界上点数
9. 海伦公式：S2＝p(p-a)(p-b)(p-c)，a,b,c为三角形三边长，p＝
（半周长）