2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2
1．（5分）集合A={x|lnx≥0}，B={x|x＜16}，则A∩B=（ ） A．（1，4） B．[1，4） C．[1，+∞） D．[e，4）
0.9
2．（5分）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系是C（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b 3．（5分）已知a＞1，A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0
，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（ ） C．﹣2＜x＜0
D．﹣2＜x＜1
4．（5分）已知函数
2
2
，则f（f（f（﹣1）））的值等于（ ）
A．π﹣1 B．π+1 C．π D．0
与x轴所围图形的面积为（ ）
5．（5分）曲线A．4
B．2
C．1
D．3
6．（5分）函数y=sin（2x﹣）的图象与函数y=cos（x﹣）的图象（ ）
A．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 7．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．f（x）=
﹣x
3
B．f（x）=+x C．f（x）=
3
﹣x D．f（x）=
3
+x
3
8．（5分）设f （x）是奇函数，对任意的实数x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f （x）＜0，则f （x）在区间[a，b]上（ ）
A．有最大值f（a） B．有最小值f（a） C．有最大值
D．有最小值
9．（5分）已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（ ） A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z B．[6k﹣3，6k]，k∈Z C．[6k，6k+3]，k∈Z D．[6kπ﹣3，6kπ]，k∈Z
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10．（5分）若不等式lg≥（x﹣1）lg3对任意x∈（﹣∞，1）恒成立，则a的取值范围
是（ ） A．（﹣∞，0] B．[1，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，1] 11．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则
xx
不等式ef（x）＞e+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A．（2014，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（0，+∞） 12．（5分）设函数f（x）=
sin
，若存在f（x）的极值点x0满足x0+[f（x0）]＜m，则m的取值
2
2
2
范围是（ ） A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量与+的夹角为 ． 14．（5分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数
2
，
则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是： ． ①fp[f（0）]=f[fp（0）]； ②fp[f（1）]=f[fp（1）]； ③fp[fp（2）]=f[f（2）]； ④fp[fp（3）]=f[f（3）]．
15．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是 ． 16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
22
17．（10分）已知a∈R，命题p：“?x∈[1，2]，x﹣a≥0”，命题q：“?x∈R，x+2ax+2﹣a=0”． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC+sin（B﹣A）=sin2A，A≠
．
2
（Ⅰ）求角A的取值范围； （Ⅱ）若a=1，△ABC的面积S=
x
，C为钝角，求角A的大小．
19．（12分）已知函数f（x）=e+ax﹣1（e为自然对数的底数）． （Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
2
（Ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（﹣4，﹣2）时，f（x）的最大值为﹣4． （Ⅰ）求实数a的值；
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，
（Ⅱ）设b≠0，函数
，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），
使f（x1）﹣g（x2）=0，求实数b的取值范围． 21．（12分）已知函数f（x）=x+
3
+ax+b，g（x）=x+
3
+lnx+b，（a，b为常数）．
（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；
（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知函数
，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；
（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围； （Ⅲ）证明：
（n∈N+，n≥2）．
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2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2
1．（5分）（2014?重庆三模）集合A={x|lnx≥0}，B={x|x＜16}，则A∩B=（ ） A．（1，4） B．[1，4） C．[1，+∞） D．[e，4）
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由A中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即A=[1，+∞）； 由B中的不等式解得：﹣4＜x＜4，即B=（﹣4，4）， 则A∩B=[1，4）． 故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2015?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系是C（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．
0.9
【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1， ∴b＜a＜c． 故选：C．
【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．
3．（5分）（2015?南昌校级二模）已知a＞1，
，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是
0.9
（ ）
A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣2＜x＜0 D．﹣2＜x＜1
【分析】求出不等式的解集即不等式成立的充要条件；据当集合A?集合B且B?A时，A是B的充分不必要条件．
【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是
∵a＞1
2
∴x+2x＜0 ∴﹣2＜x＜0
∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是﹣1＜x＜0 故选项为B
【点评】本题考查不等式的解集是不等式的充要条件；据集合之间的关系判断条件关系．
4．（5分）（2015春?玉溪校级期末）已知函数
2
2
，则f（f（f（﹣1）））的值等于（ ）
A．π﹣1 B．π+1 C．π D．0
【分析】根据分段函数的定义域，求出f（﹣1）的值，再根据分段函数的定义域进行代入求解；
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【解答】解：函数
2
，
f（﹣1）=π+1＞0， ∴f（f（﹣1））=0， 可得f（0）=π， ∴f（f（f（﹣1）））=π， 故选C；
【点评】此题主要考查函数值的求解，是一道基础题；
5．（5分）（2016春?进贤县校级月考）曲线A．4
B．2
C．1
D．3
上的积分可求出答案． 上的积分，
与x轴所围图形的面积为（ ）
【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤
即S==3=3=3，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和用定积分求面积的问题．属基础题
6．（5分）（2015?开封模拟）函数y=sin（2x﹣
）的图象与函数y=cos（x﹣
）的图象（ ）
A．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴
【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解． 【解答】解：由2x﹣Z． 由x﹣
=kπ，k∈Z，可解得函数y=cos（x﹣
）的对称轴为：x=kπ
，k∈Z．
=k
，k∈Z，可解得函数y=sin（2x﹣
）的对称轴为：x=
+
，k∈
k=0时，二者有相同的对称轴． 由2x﹣由x﹣
=kπ，k∈Z，可解得函数y=sin（2x﹣=k
）的对称中心为：（
）的对称中心为：（kπ+
，0），k∈Z． ，0），k∈Z．
，k∈Z，可解得函数y=cos（x﹣
故2函数没有相同的对称中心．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 7．（5分）（2015?厦门模拟）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
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