即x∈（0，1），f'（x）＞0，当x∈（1，+∞），f'（x）＜0，
∴f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减， 在x=1处取得极大值，极大值为f（1）=1，无极小值． （Ⅱ）解：方法1：∵ln（x﹣1）+k+1≤kx，
k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（1）知f（x）max=f（1）=1， 则有f（x﹣1）max=1，∴k≥1．
方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，
，
当k≤0时，g'（x）≥0； 当k＞0时，由g'（x）＞0得
，
，
即当k≤0时，g（x）在（1，+∞）上为增函数； 当k＞0时，
上为增函数；在
上为减函数．
∵对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立， 即要求g（x）≤0恒成立， ∴k＞0符合，且（Ⅲ）证明：则
2
*
，得k≥1．
，由（Ⅰ）知
（当且仅当x=1取等号）．
，
令x=n（n∈N，n≥2），即，则有
∴，
∴．
【点评】本题考查了利用当时研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法、分离参
数方法、分类讨论方法，考查了利用研究证明的结论证明不等式，考查了“累加求和”、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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2016年11月5日
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