（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．
22
【解答】解：（1）∵命题p：“?x∈[1，2]，x﹣a≥0”，令f（x）=x﹣a， 根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可， 也就是1﹣a≥0，解得a≤1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，
2
命题q为真命题时，△=4a﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1． ∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题， ∴命题p与命题q必然一真一假， 当命题p为真，命题q为假时，
，
2
当命题p为假，命题q为真时，，
综上：a＞1或﹣2＜a＜1．
【点评】本题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 18．（12分）（2015?余姚市三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC+sin（B﹣A）=
sin2A，A≠
．
（Ⅰ）求角A的取值范围； （Ⅱ）若a=1，△ABC的面积S=
，C为钝角，求角A的大小．
sinAcosA，由cosA≠0，根据正弦定理，得b=
，
【分析】（Ⅰ）化简已知等式可得：2sinBcosA=2又0＜sinB≤1，可得0＜sinA（Ⅱ）由（Ⅰ）及a=1得b，又S=理可求sinA=
，从而得解．
从而得解．
，结合C为钝角，可求C，由余弦定理可求得c的值，由正弦定
【解答】解：（Ⅰ）由sinC+sin（B﹣A）=sin2A，得sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinAcosA， 即：2sinBcosA=2sinAcosA，因为cosA≠0，sinB=sinA． …（3分） 由正弦定理，得b=，故A必为锐角． …（4分） 又0＜sinB≤1，0＜sinA因此角A的取值范围为（0，（Ⅱ）由（Ⅰ）及a=1得b=从而sinC=
2
． …（6分） ]…（8分） ．又因为S=
，所以
．
．因为C为钝角，故C=． …（11分） =1+2﹣2×
11页
由余弦定理，得c=1+2﹣2×
=2+．
故有：c=． …（13分）
由正弦定理，得sinA===．
因此A=． …（15分）
【点评】本题主要考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式等知识的应用，属于基本知识的考查．
19．（12分）（2015?呼伦贝尔一模）已知函数f（x）=e+ax﹣1（e为自然对数的底数）． （Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．
x
【分析】（I）当a=1时，f（x）=e+x﹣1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得；
（II）将f（x）≥x在（0，1 ）上恒成立利用参变量分离法转化为
22
x
在（0，1 ）上恒成立，
再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．
xx
【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=e+x﹣1，f（1）=e，f'（x）=e+1，f'（1）=e+1， 函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即y=（e+1）x﹣1， 设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B， ∴A∴
，B（0，﹣1），
，
．
∴过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
（II）由f（x）≥x得
2
，
令h（x）=
x
，
x
，
令k（x）=x+1﹣e…（6分）k'（x）=1﹣e，
∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，
∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0． 因为x﹣1＜0，x＞0，所以
2
，
∴h（x）在（0，1）上是增函数．
所以h（x）＜h（1）=2﹣e，所以a≥2﹣e…（12分）
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，解决函数恒成立问题常常利用参变量分离法求出参数范围，属于中档题．
12页
20．（12分）（2015?淮安模拟）已知函数（fx）满足2f（x+2）﹣（fx）=0，当x∈（0，2）时，（fx）=lnx+ax当x∈（﹣4，﹣2）时，f（x）的最大值为﹣4． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）设b≠0，函数
，
，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），
使f（x1）﹣g（x2）=0，求实数b的取值范围．
【分析】（I）先求出函数在（﹣4，﹣2）上的解析式，利用函数的导数求出函数的最大值（用a表示），令其等于﹣4，从而求出a； （II）由任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）﹣g（x2）=0，函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集，即转化为求两个函数的值域，用函数的导数法即可解决． 【解答】解：（I）由已知，得2f（x+2）=f（x）， ∴f（x）=2f（x+2）=4f（x+4）（4分） ∵x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax， 设x∈（﹣4，﹣2），则x+4∈（0，2）， ∴f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），
∴x∈（﹣4，﹣2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）， 所以
∵x∈（﹣4，﹣2）， ∴﹣4ax＜4+16a， ∵∴又由∴f（x）在∴
，可得
，
上是增函数，在
．
上是减函数，
，
．
，
∴a=﹣1（7分）
（II）设f（x）的值域为A，g（x）的值域为B， 则由已知，对于任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）﹣g（x2）=0得，A?B．（9分） 由（I）a=﹣1，当x∈（1，2）时，f（x）=lnx﹣x，∵x∈（1，2），
∴f′（x）＜0，f（x）在x∈（1，2）上单调递减函数， ∴f（x）的值域为A=（ln2﹣2，﹣1）（10分）
2
∵g'（x）=bx﹣b=b（x﹣1）（x+1），
∴（1）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数， 此时，g（x）的值域为为满足A?B，又
．
，
，
13页
∴．即．（11分）
（2）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数， 此时，g（x）的值域为又，∴∴
综上可知b的取值范围是
，
，
（12分）
，为满足A?B，
【点评】本题考查函数的导数在研究函数的最值中的应用，考查子集概念的理解，解题的关键是分类讨论
思想与转化思想，化“生”为“熟”是解题之“良方”．
21．（12分）（2015?东城区二模）已知函数f（x）=x+
3
+ax+b，g（x）=x+
3
+lnx+b，（a，b为常数）．
（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值； （Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求b的值；
（Ⅱ）求出方程f（x）﹣x=xf′（x）的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围；
（Ⅲ）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系进行求解即可， 【解答】解：（Ⅰ）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx﹣5， 因为
所以k=11，故切线方程为y=11x﹣5． 当x=1时，y=6，将（1，6）代入得
． …（3分）
2
，
，
（Ⅱ）f'（x）=3x+5x+a， 由题意得方程即方程令
所以h（x）在区间又
故实数b的取值范围是
，
． …（8分）
有唯一解．
，则h'（x）=6x+5x+1=（2x+1）（3x+1），
上是增函数，在区间
上是减函数．
2
有唯一解，
14页
（Ⅲ）F（x）=ax﹣x﹣lnx， 所以
．
2
因为F（x）存在极值，所以
2
2
在（0，+∞）上有根，
即方程2x﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，则有△=a﹣8≥0． 显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意； 所以方程必有两个不等正根．
2
记方程2x﹣ax+1=0的两根为x1，x2，则
=
解得a＞16，满足△＞0． 又
，即a＞0，
2
＞，
故所求a的取值范围是（4，+∞）． …（14分）
【点评】本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．
22．（12分）（2015?湖北二模）已知函数
，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；
（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围； （Ⅲ）证明：
（n∈N+，n≥2）．
【分析】（Ⅰ），（x＞0），，分别解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出单
调区间、极值；
（II）方法1：由ln（x﹣1）+k+1≤kx，分离参数可得：k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（I）即可得出．
方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，性即可得出； （Ⅲ）
*
，对k分类讨论研究其单调
，由（Ⅰ）知：（当且仅当x=1取等号）．令x=n（n∈
2
N，n≥2），即，再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出．
【解答】（Ⅰ）解：
，（x＞0），
15页
，