福建省漳浦县道周中学2014年高考数学专题复习 三角函数与
平面向量的综合应用教案 文
1.同角三角函数的基本关系式，正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新
两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强，对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高，考查公式的灵活运用及变形能力.通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容，且一直是高考的热点.
2.研究三角函数的性质，一般要化为f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的形式，若是奇函数，则可化为f(x)＝±Asin ωx；若是偶函数，则可化为f(x)＝±Acos ωx.求三角函数的定义域，实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的解，求函数的单调区间可以转化为求y＝sin x与y＝cos x的单调区间.
3.解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值.试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现. 4.平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法.平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题.特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性. [难点正本 疑点清源]
1.三角函数问题一是化简求值问题，要熟练应用公式，紧扣角的范围，才可避免出错；二是三角函数的性质，要先将函数式化简为y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的形式，再研究其性质.
2.向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比，要理解它们的联系与区别.要用向量的思想和方法去分析解决问题，一定要突出向量的工具性作用.
题型一 三角函数式的化简求值问题
例1 已知函数f(x)＝23sin xcos x＋2cosx－1 (x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间?0，
2
?
?
π?
上的最大值和最小值； 2??
6?ππ?(2)若f(x0)＝，x0∈?，?，求cos 2x0的值.
5?42?
探究提高 (1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”，记忆公式要注意角、
三角函数名称排列以及连接符号“＋”，“－”的变化特点.(2)在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换.(3)本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确.
已知向量m＝(－1，cos ωx＋3sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中
3
ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象上任意两相邻对称轴的间距为π.
2(1)求ω的值；
π?23?3
(2)设α是第一象限角，且f?α＋?＝，
2?26?2
?sin?α＋
求
π?
?4??
π＋2α
的值.
题型二 三角形中的三角恒等变换
例2 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsin A. (1)求B的大小；
(2)求cos A＋sin C的取值范围.
探究提高 本题的难点是第(2)问，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进行化简，然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角A的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图象和性质确定三角函数式的取值范围.
设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c且3b＋3c－3a＝42
2
2
2
bc.
(1)求sin A的值；
2sin?A＋(2)求
??
π??π?sin?B＋C＋??4??4?
的值.
1－cos 2A题型三 平面向量与三角函数
??例3 已知向量m＝?3sin ，1?，
4??
x2x??n＝?cos ，cos?.
x?
4
4?
?2π?(1)若m·n＝1，求cos?－x?的值； ?3?
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos
B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围.
探究提高 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算
或性质转化成三角函数问题.
已知A、B、C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，
?π3π?α∈?，?.
2??2
→→
(1)若|AC|＝|BC|，求角α的值；
2sinα＋sin 2α→→
(2)若AC·BC＝－1，求 的值.
1＋tan α
8.平面向量与三角函数的综合问题
试题：(12分)设向量a＝(4cos α，sinα)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β).
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
审题视角 (1)利用向量的垂直关系，将向量间的关系转化成三角函数式，化简求值.(2)根据向量模的定义，将求模问题转化为求三角函数最值的问题.(3)转化成证明与向量平行等价的三角函数式. 规范解答
(1)解 由a与b－2c垂直， 得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，
即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. [4分]
(2)解 |b＋c|＝(b＋c)＝b＋c＋2b·c＝sinβ＋16cosβ＋cosβ＋16sinβ＋2(sin βcos β－16sin βcos β) ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β， 最大值为32，所以|b＋c|的最大值为42. (3)证明 由tan αtan β＝16， 得sin αsin β＝16cos αcos β，
即4 cos α·4cos β－sin αsin β＝0，故a∥b.
第一步：将向量间的关系转化成三角函数式. 第二步：化简三角函数式.
第三步：求三角函数式的值或分析三角函数式 [12分]
[8分]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
的性质.
第四步：明确结论.
第五步：反思回顾.查看关键点，易错点和规范
解答.
批阅笔记 (1)本题是典型的向量与三角函数的综合，题目难度中档，属高考的重点题型.
(2)本题体现了转化与化归的思想方法.根据向量关系，转化为三角函数式的问题，利用三角函数解决.
(3)易错分析.在将向量关系转化为三角函数式时易出错.在第(3)问中，学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明a∥b.事实上是学生忽略了a∥b的条件.
方法与技巧
1.研究三角函数的图象与性质的主要思想方法是数形结合思想，这主要体现在运用三角函数的图象研究三角函数的图象变换、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知识；运用三角函数的图象解决取值范围、交点个数、定义域等内容.
2.三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型，主要从以下两个方面进行考查.
(1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角)，通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图象与性质等解决问题.
(2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.
3.加强数学思想方法的考查，转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题. 失误与防范
1.对于三角函数的化简求值问题，一要熟练应用公式化简，二要注意角的范围. 2.平面向量与三角函数问题，一般是通过向量运算，将其转化为三角函数式，要注意转化的准确性和灵活性.
专题三 三角函数与平面向量的综合应用 (时间：60分钟) A组 专项基础训练题组 一、选择题
1.已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cosx,2cos x)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是
2
( ) A.π 2
B.π
C.2π
D.4π
2.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A).若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为 ( ) A.C.
ππ
， 63ππ， 36
B.D.
2ππ
， 36ππ， 33
3??1
3.已知a＝?－，?，b＝(1，3)，则|a＋tb| (t∈R)的最小值等于
?22?( )
A.1 二、填空题
B.3
2
1
C. 2
D.2 2
π?1?π????4.已知0<α<，β为f(x)＝cos?2x＋?的最小正周期，a＝?tan?α＋β?，－1?，8?4?4????2cosα＋α＋β
b＝(cos α，2)，且a·b＝m，则cos α－sin α
2
＝________.
5.在直角坐标系xOy中，已知点A(－1,2)，B(2cos x，－2cos 2x)，C(cos x,1)，其→→
中x∈[0，π]，若AB⊥OC，则x的值为______.
6.已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1＋sinx＝_________. 2
cosx－sin 2x三、解答题
7.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R (A>0，ω>0，|φ|<
π
)，若该函数图象上的一个2
2
?π??π?最高点坐标为?，3?，与其相邻的对称中心的坐标是?－，0?. ?6??12?
(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；
(2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x的集合.
8.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－3)，n＝
?cos 2B，2cos2B－1?且m∥n.
?2???
(1)求锐角B的大小；