习题二
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】
故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；
（2） X的分布函数并作图； (3) .
【解】
故X的分布律为 X 0 1 2 P
（2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=
当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)= 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数 (3)
3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.
故X的分布律为 X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数
4.（1）设随机变量X的分布律为 P{X=k}= ，
其中k=0，1，2，?，λ＞0为常数，试确定常数a. （2）设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N， k=1，2，?，N， 试确定常数a. 【解】（1）由分布律的性质知 故
(2) 由分布律的性质知
即 .
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) +
(2)
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有 即
利用泊松近似
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
故
所以 .
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）
(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1） (2) 11.设P{X=k}= , k=0,1,2 P{Y=m}= , m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}= ，试求P{Y≥1}. 【解】因为，故 . 而 故得 即 从而
12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,
得
13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为 .以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1）保险公司亏本的概率;
（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有
(2) P(保险公司获利不少于10000)
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上? P（保险公司获利不少于20000）
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%? 15.已知随机变量X的密度函数为 f(x)=Ae?|x|, ?∞ 故 . (2) (3) 当x<0时， 当x≥0时， 故 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 f(x)= 求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】 （1） (2) (3) 当x<100时F（x）=0 当x≥100时 故 17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】由题意知X~∪[0,a]，密度函数为 故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时 当x>a时，F（x）=1 即分布函数 18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测 值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即 故所求概率为 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布 .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知，即其密度函数为 该顾客未等到服务而离开的概率为 ,即其分布律为 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1）若走第一条路，X~N（40，102），则 若走第二条路，X~N（50，42），则 ++ 故走第二条路乘上火车的把握大些. （2）若X~N（40，102），则 若X~N（50，42），则 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N（3，22）， （1）求P{2 (2) c=3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】