有两个号码一致的坐法种数为（ ）
A．120 B.119 C.110 D.109
【错解】“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一致”， 三个
53232号码一致有C5?C5A2?1?99，A2种，四个号码一致仅一种，所以所求的坐法种数为A5无选项.
【错因分析】三个号一致时，另两个号则不能一致，例如已经选择了1、2和3号一致，则
24号人只能坐5号位且5号人坐4号位，仅一种坐法而不是A2种.读题不清导致解题出错.
【正确解析】选D .“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一
3致”，三个号码一致有C5种（若三个号一致，另外两个不在自己号位仅一种方法），四个号53码一致仅一种，所以所求的坐法种数为A5?C5?1?109.选D.
例11. 一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .
【错解】一箱磁带有一盒次品的概率0.01?(1?0.01)24，一箱磁带中无次品的概率
(1?0.01)25，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是0.01?(1?0.01)24+(1?0.01)25.
【错因分析】由于这一箱磁带共25盒，则一箱磁带有一盒次品的概率应为
1. C25?0.01?(1?0.01)241【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率C25?0.01?(1?0.01)24，一箱磁带中无次品的概率0C25?(1?0.01)25，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是10C25?0.01?(1?0.01)24+C25?(1?0.01)25.
【点评】在做文字较多的排列组合或概率题时应特别细心读题，读懂题目中的关键词的含义. （2）忽视隐含条件
数学题目中有很多隐含条件，例如已知“直线与圆有公共点”，这就隐含着“联立直线与圆的方程消元后的二次方程的判别式??0”，又如“求函数y?1的值域”隐含
sinx?2着“?1?sinx?1”这个有界性条件…….审题过程应尽可能找出这些隐含条件后再解题.
22例12.设?、?是方程x?2kx?k?6?0的两个实根，则(??1)?(??1)的最小值是
2（ ）
(A)?494(B)8(C)18(D)不存在
【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：????2k,???k?6,
?(??1)2?(??1)2??2?2??1??2?2??1?(???)2?2???2(???)?2
349?4(k?)2?.选A.
44【错因分析】受选择答案（A）的诱惑，一看到4(k?)?3424949则立即选了答案?.这44正是思维缺乏反思性的体现.忽视了一元二次方程有根，则判别式??0这个隐含条件. 【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：????2k,???k?6,
?(??1)2?(??1)2??2?2??1??2?2??1?(???)2?2???2(???)?2
349?4(k?)2?.? 原方程有两个实根?、?，∴??4k2?4(k?6)?0 ?
44k??2或k?3.
当k?3时，(??1)2?(??1)2的最小值是8； 当k??2时，(??1)2?(??1)2的最小值是18.选B. 例13.已知(x+2)+ =1, 求x+y的取值范围.
4
【错解】由已知得 y=－4x－16x－12，因此 x+y=－3x－16x－12=－3(x+828282222
∴当x=－ 时，x+y有最大值 ，即x+y的取值范围是(－∞, ]. 333【错因分析】没有注意x的取值范围要受已知条件的限制.
【正确解析】由已知得 y=－4x－16x－12，因此 x+y=－3x－16x－12=－3(x+由于(x+2)+ =1 ? (x+2)=1－ ≤1 ? －3≤x≤－1，
44282222
从而当x=－1时x+y有最小值1.∴ x+y的取值范围是[1, ]. 3
【点评】注意一些代数式的有界性，例如 x≥0，－1≤sinx≤1， a>0等及圆锥曲线有界性等.
例14. 方程log2(9【
x?12
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y2
22
8228)+ ， 338228)+ 33y2
2
y2
?5)?log2(3x?1?2)?2?0的解集为___________________-
错
解
】
lx?12?o?x?12g? (x?2log2(9x?1?5)?log24(3x?1?2)?9x?1?5?4(3x?1?2)?(3x?1?1)(3x?1?3)?0
3x?1?1?0或3x?1?3?0所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.
【错因分析】产生了增根x=1.实际上当3则原方程无意义. 【
正
x?12x?1?1?0时，3x?1?2<0导致对数的真数为负数
解】
l?o?x?12g? (x?2?9x?1?5?4(3x?1?2)?log2(9x?1?5)?log24(3x?1?2)??3x?1?2?0?3x?1?3?0?x?2
?9x?1?5?0?所以解集为{2}.
例15. 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完不再放回，直到2个次品都找到为止，求经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率.
分析:错解一: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出,表示前4次中有2次取到正品和2
A42A421次取到次品，故所求概率为=..
5A64错解二: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出表示第4次正好取到次品，故所求概率为
123C2C4A34A61= 5正解:若仔细审题，我们会发现：经过4次测试恰好将2个次品全部找出，不仅包括4次正好取到次品，前3次中有一次取到次品，还有前4次正好都取到合格品的情况，即此时剩下2个都是次品，所以，经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（3）字母意义含混不清
1234C2C4A3?A4A46?4 155x2y2例16.若双曲线2?2??1的离心率为，则两条渐近线的方程为（ ）
4abA.
xyxyxyxy??0 B.??0 C.??0 D.??0 9161693443【错解】选D.
c5c225a2?b2b2b29b33xye???2???1???????y??x???0222a4a16aaa16a4443，选D.
【错因分析】审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a和题目中方程的a的意义.
x2y2y2x2【正确解析】2?2??1?2?2?1，与标准方程中字母a,b互换了.选C.
abba4.运算错误
运算能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形中各几何量的计算求解等．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力．而计算出错，已经成为影响数学成绩的最重要因素之一.运算出错主要有以下几种： （1）数字与代数式运算出错
数字运算，移项、合并同类项、因式分解等整式变形、繁分式化简、无理式变形等式子的等价变形是考生最容易出错的地方.
?????例17. 若a?(5,?7),b?(?1,2)，且（a??b）?b，则实数?的值为____________.
【错解】a??b?(5??,?7?2?)，
??则（a??b）?b?(a??b)?b?0?5???2(?7?2?)?0???3.
【错因分析】计算过程中数字运算出错，(5??)?(?1)仍等于5??导致出错. 【正确解析】a??b?(5??,?7?2?)，
??19（a??b）?b?(a??b)?b?0???5?2(?7?2?)?0???
5例18. 已知直线l与点A（3，3）和B（5，2）的距离相等，且过二直线l1：3x－y－1=0和
l2：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________
【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到它的距离相等建立方程得|2k?1|k2?1?|4k|1?k??，所以所求直线为x+2y-5=0.
2k2?1【错因分析】显然，解方程时漏了一根，含绝对值的方程应讨论（或平方）求解，一般有两
根.
【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线l1：3x－y－1=0和l2：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的
斜率必然存在），由点到直线的距离公式得：直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.
|2k?1|k2?1?|4k|11?k?,k??，所以
62k2?1（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错
在同样的题目条件下，不同公式的选择及不同运算程序都将极大影响运算的速度和准确度.
例19. 已知圆(x－3)+y=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OP?OQ2
2
的值为 .
【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)+y=4消y，得关于x的方程
2
2
(1?m2)x2?6x?5?0，令P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2?265,x?x?，则12221?m1?m5m2y1y2?mx1x2?，由于向量OP与向量OQ共线且方向相同，即它们的夹角为0，21?m55m2??5. 所以OP?OQ?OP?OQ?x1x2?y1y2?1?m21?m2【分析】上述解法正确，也得出了正确答案，但运算繁杂.下面的解法简洁明了. 【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则OP?OQ?OT?3?2?5.
例20.长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为 【运算繁杂的解法】在正四面体S-ABC内任取一点P，则
222133VS?ABC?VP?ABC?VP?ABS?VP?ACS?VP?BCS???12?()2?343136?(d1?d2?d3?d4)?d1?d2?d3?d4?. 343【分析】上述解法正确，但如果采用下面的特殊值（特殊点）法，运算更为简洁. 【正确解析】
6.令P为正四面体的中心（显然，P的位置不影响正确答案），则36,12，而棱长为1的正四面体的内切球半径为r=d1?d2?d3?d4?r（r为内切球半径）