所以所求值为4r=
6. 3（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错
y2?1的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且AB?4，则这样的直线有例21.曲线x－22
___________条.
【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称），所以共4条.
【错因分析】实际上，通过计算可知，过右焦点且与X轴垂直的弦AB（即通径）为
2b22?2??4，恰好为所需长度，因此过右焦点的直线与右支相交于A、B两点时，仅有a1一条满足条件.
2b22?2??4，所以过右焦点的直【正解】过右焦点且与X轴垂直的弦AB（即通径）为a1线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称），所以共3条.
（4）计量单位缺乏量纲意识
例22．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式P?13x,Q?x.现有3万元资金投入经营甲、55乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少元？
【错解一】设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30000-x元，获得利润总额为y元.
则将利润总额为y的单位换算成元有：y?13x?30000?x,x?[0,30000]，如法炮制，令 5530000?x?t,则x?30000?t2,t?[0,1003]
13139?y?(30000?t2)?t??(t?)2?6000,t?[0,1003].
555220?t?3. ?x?29997.75(元）,30000?x?2.25（元）2【错解二】设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30000-x元，获得利润总额为y元.
把利润总额单位转化为元，则y?13x?10000?30000?x,x?[0,30000] 55令30000?x?t,则x?300000?t2,t?[0,1003]
3329?y?2000?(30000?t2)?t??2000(t?)?6?107??10?5，t?[0,1003].
5200002?t?332.时y最大，此时对甲商品资金投入量为x?30000?()?29999.99999997752000020000元，对乙商品资金投入量为0.0000000225元.，此时甲商品获得利润60000000.000045元.（不管怎样分配，甲商品都赚了投入资金的1999倍的钞票！）
【错解三】设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30000-x元，获得利润总额为y元.
由于利润总额单位为万元，故y?113(x?30000?x)， 1000055令30000?x?t,则x?300000?t2,t?[0,1003] y???t?13139(30000?t2)?t??[(t?)2?6000],t?[0,1003]. 5000050000500002203. ?x?29997.75(元）,30000?x?2.25（元）213x,Q?x的单位理解不清.从量纲角度看，长55【错因分析】量纲不统一，对经验公式P?度立方为体积、长度平方为面积（正如体积的立方根为长度、面积的算术平方根长度一样），
3Q?x的单位由经验公式给出的前提是变量x的单位万元确定，因此，
5【正解一】设对甲种商品投入金额x万元，是乙种商品投资为（3-x）万元，获得的利润总额为y万元. 由题意，得y?y?13x?3?x,x?[0,3],设3?x?t,则x?3?t2,t?[0,3]，则 55131321(3?t2)?t??(t?)2?,t?[0,3]. 5552209339321,即x?3??，3?x?3??. ?[0,3]时,ymax?4444220?当t?因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为0.75万元和2.25万
元，获得的最大利润为1.05万元.
【正解二】设对甲种商品投入金额x元，则目标函数应该为
y?1x3x13??3?=x?30000?x 51000051000050000500令30000?x?t,则x?300000?t2,t?[0,1003] 则y?13121?x?30000?t2?7500（余与解一同） (30000?t2)?t??(t?150)2?5000050050000205.数学思维不严谨
（1）数学公式或结论的条件不充分
1212
例23.已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )+(b+ )的最小值.
ab【错解】 (a+
1212221121)+(b+)=a+b+2+2+4≥2ab++4≥4ab?+4=8. abababab∴(a+
1212
)+(b+)的最小值是8. ab2
2
【错因分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=
11,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8
ab2不是最小值.
111111222
++4=( a+b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+)－2222ababab21a?b21111]+4= (1－2ab)(1+22)+4，由ab≤()= 得：1－2ab≥1－=, 且22≥ab2422abab1251116，1+22≥17，∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，
222ab121225
∴(a + ) + (b + )的最小值是 . 2ab【正确解析】原式= a+b+
2
2
例24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x?)(y?1x1)的最小值为 . y【错解一】因为对a>0,恒有a?111?2,从而z=(x?)(y?)?4,所以z的最小值是4. axy2?x2y2?2xy22【错解二】z??(?xy)?2?2xy?2?2(2?1)，所以z的最小
xyxyxy值是2(2?1).
【错因分析】解法一中，等号成立的条件是x?11且y?,即x?1且y?1,与x?y?1相矛xy盾；解法二中，等号成立的条件是
12?xy,即xy?2，与0?xy?相矛盾.
4xy111yx1(x?y)2?2xy2??=xy??【正解】z=(x?)(y?)=xy???xy?2，令
xyxyxyxyxyxyt=xy, 则0?t?xy?(x?y212?1?1)?，由f(t)?t?在?0,?上单调递减,故当t=时 24t4?4?f(t)?t?233133有最小值,所以当x?y?时z有最小值. t244（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性.
例25．(1)不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集为____________ (2)函数y?解析：
1?x的定义域为 . 1?x[,??).因为|x+1|?0恒成立，（1）【错解】所以原不等式转化为2x-1?0，所以x?[,??)
【错因分析】忽略了当x=－1时|x+1|=0原不等式也成立，即x=-1为不等式的解. 【正确解析】[,??)?{?1}.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1?0，所以解集为
1212121x?[,??)?{?1}.
21?x?0?(1?x)(1?x)?0?x?1或x??1. 1?x【错因分析】两个错误：一是解分式不等式（方程）时未考虑分母不能为0；二是解二次不等式时没有把二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间，从而导致解集出错.
(2) 【错解】【正解】
?(1?x)(1?x)?0?(1?x)(x?1)?01?x?0??????1?x?1
1?x?0x?11?x??例26.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2?4x仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条
?y2?4x2【错解】设直线的方程为y?kx?1，联立?，得?kx?1??4x，
?y?kx?1即：kx?(2k?4)x?1?0，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.
【错因分析】本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条.
【正确解析】C.由上述分析，y轴本身即为一切线，满足题意；解方程
22k2x2?(2k?4)x?1?0时，若k=0，即直线y=1也与抛物线y2?4x仅有一个公共点，又
k=1时也合题意，所以有三条直线合题意，选C. （3）解题时忽视等价性变形导致出错 例27. （1）已知f(x) = ax +
b，若?3?f(1)?0,3?f(2)?6,求f(3)的范围. xx2?x?30?0}，且A?B??，求实数a（2）已知集合A?{x||x?a|?1}，B?{x|x?3的取值范围.
①??3?a?b?0?解析：（1）【错解】由条件得? b3?2a??6?②2?由②×2－① 6?a?15 ③ ①×2－②得 ?8b2??? ④ 33310b431043,即?f(3)?. ③+④得 ?3a??33333b，x其值是同时受a和b制约的.当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.
【错因分析】采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) = ax +
?f(1)?a?b?【正确解析】由题意有?b, 解得：
f(2)?2a??2?12a?[2f(2)?f(1)],b?[2f(1)?f(2)],
33b1651637?f(3)?3a??f(2)?f(1). 把f(1)和f(2)的范围代入得 ?f(3)?.
39933（2）【错解】由题意，A：a?1?x?a?1
x2?x?30?0?(x?6)(x?5)(x?3)?0?{x|x?6或?5?x?3}……(后面略) B：
x?3【错因分析】求集合B时，未考虑分式不等式中分母为零这一条件（若B中不等式为f(x)?0或f(x)?0形式而不是f(x)?0或f(x)?0则不需要考虑此问题）. 【正确解析】由题意，A={x|a?1?x?a?1}
?(x?6)(x?5)(x?3)?0x2?x?30B：?0???{x|x?6或?5?x?3}
x?3?0x?3?由A?B??则a?(??,?6)[4,5).
n例28.已知数列?an?的前n项和Sn?2?1，求an.
【错解】 an?Sn?Sn?1?(2n?1)?(2n?1?1)?2n?2n?1?2n?1.
1?1【错因分析】 显然，当n?1时，a1?S1?3?2?1，不满足上述公式.
没有注意公式an?Sn?Sn?1成立的条件是n?2.