§12.1 随机事件的概率
1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件． (2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．
(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C?表示． 2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出
nA现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
n(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率． 3．事件的关系与运算 定义 如果事件A发生，则事件B一定发生，这包含关系 时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) 相等关系 并事件(和事件) 若B?A且A?B 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并A＝B A∪B(或A＋B) B?A(或A?B) 符号表示
事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件交事件(积事件) B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝? A∩B＝?P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1 A∩B(或AB) 对立事件 4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的． (2)随机事件和随机试验是一回事．
( × ) ( × ) ( √ ) ( × )
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( ) A．至多有一次中靶 C．只有一次中靶 答案 D
3．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 A．0.5 答案 A
解析 依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 4．下列事件中，随机事件为________，必然事件为________．(填序号)
①冬去春来 ②某班一次数学测试，及格率低于75% ③体育彩票某期的特等奖号码 ④三角形内角和为360° ⑤骑车到十字路口遇到交警
B．0.3
( )
B．两次都中靶 D．两次都不中靶
C．0.6 D．0.9
答案 ②③⑤ ①
5．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛
3
硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是
7这个随机事件发生的概率． 答案 0
3
解析 ①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这
7是两个不同的概念.
题型一 随机事件的关系
例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.
思维启迪 判断事件之间的关系可以紧扣事件的分类，结合互斥事件，对立事件的定义进行分析．
解 (1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件． (4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．
对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两
次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互斥
的事件是________，互为对立事件的是________． 答案 A与B，A与C，B与C，B与D B与D
解析 设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?.
故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．
题型二 随机事件的频率与概率
例2 某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示： 抽取球数n 优等品数m m优等品频率 n50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902 (1)计算表中乒乓球优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
思维启迪 可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率．
m
解 (1)依据公式f＝，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是
n0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
思维升华 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上
游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y
增
加
5.
已
知
近
20
年
X
的
值
为
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 1 20110 140 4 20160 200 220 2 20(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 1 20110 3 20140 4 20160 7 20200 3 20220 2 20频率 X(2)由已知可得Y＝＋425，
2
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210) ＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220) 1323＝＋＋＝. 20202010
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为3. 10
题型三 互斥事件、对立事件的概率
例3 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
思维启迪 明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥事件或对立事件概率公式求解．
1101
解 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，
1 0001 000100501
P(C)＝＝.
1 00020
111
故事件A，B，C的概率分别为，，.
1 00010020(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A、B、C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) 1＋10＋5061＝＝. 1 0001 000
61
故1张奖券的中奖概率为. 1 000
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
11989
＋?＝∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－??1 000100?1 000.