989
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 1 000
思维升华 (1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．
(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)计算．
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球155
的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是.求从中任取一球，得到黑
31212球、黄球和绿球的概率分别是多少？
解 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别
5
为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥，所以有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，P(D
12
512
＋C)＝P(D)＋P(C)＝，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，
1233
111
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝. 464
111
故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，.
464
用正难则反思想求互斥事件的概率
典例：(12分)(2012·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 1至4件 x 5至8件 30 9至12件 25 13至16件 y 17件及以上 10 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)
思维启迪 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解． 规范解答
解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以x＝15，y＝20.[2分]
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算
时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10
＝1.9(分钟)．[6分]
100
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频
201101
率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.[9分]
100510010
117
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.[11分]
51010
7
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.[12分]
10温馨提醒 (1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征的含义． (2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式． 易错提示：
(1)对统计表的信息不理解，错求x，y难以用样本平均数估计总体．
(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或转化为B＋C的对立事件，导致计算错误.
方法与技巧
1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 2．从集合角度理解互斥和对立事件
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 失误与防范
1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2．需准确理解题意，特别留心“至多??”，“至少??”，“不少于??”等语句的含义
.
A组 专项基础训练
一、选择题
1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是 ( ) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球 答案 D
2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 A．0.7 答案 C
解析 事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，
所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为 A．0.95 答案 C
解析 记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92，故选C.
4．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”
37
的概率是，那么概率是的事件是 ( )
1010A．至多有一张移动卡 C．都不是移动卡 答案 A
解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.
11
5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 ( )
23
5211A. B. C. D. 6323答案 A
115解析 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝. 236
B．恰有一张移动卡 D．至少有一张移动卡
B．0.97
C．0.92
D．0.08
( )
( )
B．0.65 C．0.35 D．0.3
二、填空题
6．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． 答案 ③ ② ①
7．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个． 答案 15
解析 1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50， 50×0.30＝15.
8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25
5解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为
20＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 三、解答题
9．黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示： 血型 该血型的人所占比/% A 28 B 29 AB 8 O 35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解 (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．
由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′. 根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64. (2)方法一 由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
方法二 因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(A′＋C′)＝P(B′＋D′)＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.
10．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表： 抽取件数n 次品件数m m次品率 n50 0 100 2 200 12 500 27 600 27 700 35 800 40 (1)求次品出现的频率(次品率)；
(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？ 解 (1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.
m
(2)由(1)知，出现次品的频率在0.05附近摆动，
n故P(A)＝0.05. (3)设进衬衣x件， 则x(1－0.05)≥1 000， 解得x≥1 053， 故至少需进货1 053件．
B组 专项能力提升
1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么 A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件 C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 答案 B
解析 根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是
( )
( )
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件