函数连续性在矩阵分析中的应用
在数学分析的学习中知道，函数的连续性具有非常好的特性，比如局部有界性，介值性等，这使得很多问题在函数连续的基础上可以变得简单，那么函数连续性在高等代数中是否也有同样的好处，可以将问题简单化呢？类似于矩阵特征多项式和含字母矩阵的k阶主子式等这样一类都是关于参数的多项式，而多项式为一连续函数，因此函数的连续性可以应用在矩阵中，从而引发了对函数连续性在矩阵的各方面的应用，比如：在伴随矩阵，矩阵的正定性以及矩阵对应行列式的计算等各方面的应用。
一、预 备 知 识
定义1??、函数在一点连续的定义：若函数f?x?在x0的邻域包含x0本身有定
6义，并且limf?x??f?x0?，我们就称f?x?在点x0连续。
x?x0定义2??、函数f?x?在某一区间内有定义：若函数f?x?在开区间?a,b?内每
6一点都连续，也就是说对?a,b?内任何一点x0皆成立limf?x??f?x0?，则称f?x?x?x0在?a,b?内连续，对闭区间??a,b?来说，f?x?在??a,b?上连续的定义是指：f?x?在
?a,b?内连续，同时有f?a?0??f?a?，f?b?0??f?b?，则称f?x?在??a,b?内连
续。
引理1??、由初等函数的连续性知，多项式f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0在
5???,???上为连续函数。
定理1??、（代数基本定理）任意一个n次复系数多项式一定有n个复数根，
5其中n>1.
定理2??、设f?x?是任意一个n次复系数多项式，n>0，则f?x?恰有n个复
5数根c1,c2,...,cn,，而且f?x??a0?x?c1??x?c2?...?x?cn?，其中a0是f?x?的首项系数。
3引理2??、?A?1???A*?
*?1证明：由于AA*?AE，故A*?AA?1，从而?A?1??A?1?A?1??A?1A，
*?1于是A*?A?1??AA?1.A*?1?1A?E，证得?A?1???A*?.
*?15引理3??、?AB??B?1A?1
引理4、对Pn?n上的任一矩阵A，存在?，使得在?0,??上有At可逆， 其中At?A?tE.
?t?a11a12?a21t?a22?证明：At?A?tE＝
?......??aan2?n1...a1n??...a2n? 其中A=?aij?n?n
......??...t?ann?n?n则At是关于t的多项式，由多项式的根的存在性定理知它具有n个根t1,t2,...,tn，设t1,t2,...,tn不全为零，并记t0?min?ti:ti?0,1?i?n?，取正数?，使得0???t0，于是对任意的t，0?t??,detAt?0，即At可逆。
引理5??：设n阶实矩阵A??aij?，若aii??aij,1?i?n，则A?0。
1i?j证明：若A?0，则A的列向量线性相关，故存在不全为零的数k1,k2,...,kn，
?a11k1?a12k2???a1nkn?0?ak?ak???ak?0?2112222nn使? ?????an1k1?an2k2???annkn?0不妨设k1是ki中最大的数，则k1?0，于是a11k1??a1k2?2??ank1n，则
a11k1?a12k2???ak??a12???an1nn?1k，于是a11??a1j，矛盾！ 1j?1二、函数连续在伴随矩阵中的一些应用
对于方阵A，存在等式AA*?AE,特别地，若A可逆就有A*?AA?1，但若A不可逆时，这个等式就不成立，在讨论有关伴随矩阵的一些特性时，对A可逆的情况，利用A*?AA?1可方便证明相关结论，对A不可逆的情况，往往可利用At?A?tE这样一类矩阵配合函数的连续性进行推导。
2.1、用表示阶方阵的伴随矩阵，证明：?A*???AT?
T*证明：AA*?AE
i）当A可逆时，AT可逆且有?AT???AT?*?1A??ATT??1A
?A???A*T?1A??A?A?1??A?AT???AT?
TT?1*ii)当A不可逆时，令At?A?tE，由引理四，存在定区间??0,??，使得
At?A?tE可逆，由情形i）知有?AtT???At*?，从而当t?0时，取极限有
*T?A???A?T**T.
*T综合情形i），ii）有结论：?A
2.2、证明：?AB??B*A*
*?＝?AT*?
证明：i）先证明A,B可逆的情形。 当
A,B
均可逆时，即
*?A?0B,?1**，0这时有：
?AB?*?B*A*A?0,B?0?AB??AB?AB??1?1?1?ABBA?BB*AA??BB?1?1??AA??BA?1
即证得?AB??B*A*
ii)再证明A,B不可逆的情形。
令At?A?tE,Bt?B?tE，则存在公共的?，使t??0,??及At,Bt均可逆。事实上，
?t?a11a12?a21t?a22?＝At?A?tE?......??aan2?n1...a1n??...a2n? 其中A=?aij?n?n， ?......?...t?ann?n?n则At是关于t的多项式，因此由多项式的根的存在性定理知它具有n个根
t1,t2,...,tn，设t1,t2,...,tn不全为零，并记t0?min?ti:ti?0,1?i?n?，取正数?1，使得0??1?t0，于是对任意的t，0?t??1,A?0，即At可逆。
?t?b11b12?b21t?b22?同理，Bt?B?tE＝
?......??bbn2?n1...b1n??...b2n? 其中B=?bij?n?n，
......??...t?bnn??n?n则Bt是关于t的多项式，因此由多项式的根的存在性定理即定理二知它具有n个
根t1',t2',...,tn'，设t1',t'2,...,'tn不全为零，并记t0'?minti':ti'?0,1?i?n，取正数?2，使得0??2?t0'，于是对任意的t，即Bt可逆。取??min??1,?2?，0?t??2,B?0，则当任意的0?t??，均有At?0且Bt?0，即这时At与Bt均可逆，这时由情形i）即有?AtBt??Bt*At*，从而当t?0时，取极限有?AB??B*A*。
综上所述，无论A,B是否为可逆矩阵，均有?AB??B*A*成立。
注10：在?AB??B*A*的证明过程中，当A,B可逆时，证明的过程是简单的，利用?AB??AB?AB?即可得到，而当A,B不可逆时，A?1与B?1不存在，因此，公式?AB??AB?AB?不可用，那么借助At?A?tE与Bt?B?tE，由行列式的知识知它们的行列式都是t的n次多项式，再由多项式的知识找出一个区间，使得在这个区间上At与Bt的行列式均不为零，即意将情形ii）归为情形i），最后利用函数的连续性得出结论。
2.3
*?1*?1****??设A,B为任意两个方阵，若A~B,则其伴随矩阵也相似，即A*~B*.
证明：i）当A,B均可逆时，由AA*?AE和BB*?BE有
A?A?A*?, B?B?B*? (1)
?1?1因为A与B相似，故存在可逆方阵P,使得P?1AP?B (2)
两边取行列式得A?B,将（1）式代入（2）式中得到：P?1A?A*?P?B?B*?
?1?1因为A?B，所以P?1?A*?P??B*?，即P?1?A*?＝?B*?P?1,
?1?1?1?1在等式两边同乘P得：PP?1?A*???B*?P?1P，即P*?A*???B*?P*
?1?1?1?1于是有?B*?1??P?A**?1??P?*?1， 那么B?PA?P****?1?, 从而A*~B*.
ii）当A,B均不可逆时，令At?A?tE，Bt?B?tE，由引理4，存在?，使得在??0,??上有At与Bt均可逆，且有
P?1AtP?P?1?A?tE?P?P?1AP?tE?B?tE?Bt，
即At~Bt，由情形i）知At*~Bt*，从而当t?0时，取极限有A*~B*.
三、函数连续性在行列式计算中的应用
分块矩阵能简化高阶矩阵的运算，可应用于高阶矩阵的逆矩阵和秩的求解、行列式计算等问题中，矩阵的特征多项式也是关于行列式的计算，并且是一类本身就带有参数的特殊行列式计算，以下我们应用函数的连续性来解决行列式计算的一些问题。
3.1、
AB?AD?BC, 其中A,B,C,D?Cn?n且AC=CA CD证明：i）先证明A可逆的情形。
?In??1?CA?0??AB??AB??????1? (1) In??CD?0D?CAB???显然
In?CA?10In?1,因此对（1）式两边取行列式得到
ABAB?1?1?1AD?CAB?A(D?CAB)?AD?ACAB ???1CD0D?CAB由于AC?CA，所以
A?D?CA?1B??AD?(AC)A?1B?AD?C?AA?1?B?AD?CB
于是
AB?AD?BC CDa12a22??...an2...a1n??...a2n? 其中A=?aij?n?n，
......??...ann????n?nii）再证明A不可逆的情形。
?a11???a21?记A??A??In＝
?...??a?n1易知A?是关于?的n次多项式。因此，由多项式的根的存在性定理即定理二知它具有n个根?1,?2,...,?n，设?1,?2,...,?n不全为零，并记
?0?min??i:?i?0,1?i?n?，取正数?，使得0????0，于是对任意的?，
0????，detA??0,即A?可逆。由于AC=CA,故A?C?CA?,如果?1,?2,...,?n全为