零，则同样存在正数?，使得对任意?，0????，A?可逆，并且A?C?CA?，于是，由i）中证得的结论，得知
A?CB上式两端都是关于?的多项式，从而是关于?的连续函数，?A?D?BC，
DAB?AD?BC CD因此当??0时，上式就化为
注20：在对分块矩阵的计算中，采取左乘（或右乘）初等矩阵，但当矩阵A不可逆时则要构造函数A??A??E,找到一个区间，使该函数在基上连续且
A??E可逆，将情况归于情形i），最后应用函数的连续性证得。另外，类似的，当一矩阵可逆时结论易证，那么在考虑其不可逆的情况时，可以尝试利用函数连续性将问题归为可逆一类。
3.2 若A,B是n阶方阵，则AB与BA有相同的特征多项式。
证明:i)若A可逆，则?E?BA?A?1??E?AB?A??E?AB，即这时有AB与BA有相同的特征多项式。
ii）若A不可逆，记At?A?tE，由引理4知对任意的t,存在?，使得在??0,??上，有At可逆，由i)证得的结论知这时有BAt?B?A?tE?和AB??A?tE?B有相t同的特征多项式，即?E?B?A?tE???E??A?tE?B，上式两端都是关于t的多项式，从而是关于t的连续函数，因此当t趋于零时，上式就化为。 ?E?BA??E?AB综上，对任意方阵A,B，AB与BA均有相同的多项式。
3.3、对n阶方阵A,B,若AB=BA,且Ak?0,k?1，那么有A?B?B.
证明：i）当A可逆时，对AB=BA分别左乘B?1，右乘B?1得BA?1?A?1B,因为AB=BA且A?0,k?1，所以?ABk?1n??A.?Bn?1n??0即AB?1为幂零矩阵，
故AB?1的特征值全为0，从而E+AB?1的特征值全为1，即
A?B.B?1??A?B?B?1?E?A?B1?1,即A?B?B。
反过来，当B不可逆时，取Bt?B?tE,由引理4知，对任意的t,存在?，使得在??0,??上有Bt可逆，由i）中的结论知这时有A?Bt?Bt，上式两端都是关
于t的多项式，从而是关于t的连续函数，因此当t趋于零时，上式就化为
A?B?B。
综上所述，满足AB=BA,且Ak?0,k?1条件时有A?B?B。
四、 函数连续性在其他一些方面的应用
除了伴随矩阵，矩阵行列式的计算，我们知道一个矩阵是否正定（或负定）可通过其左右顺序主子式是否大于0（或小于0）进行判断，而各个顺序主子式是各阶子式的行列式，像引言中谈到的，若这是一个含参数的矩阵，则各个顺序主子式均是关于这个参数的多项式，也是关于参数的连续函数，所以函数的连续性同样可应用到矩阵正定性的判断中。另外，在证明矩阵的一些性质时，若针对可逆矩阵时成立，那么对不可逆矩阵，我们可以通过像引理四一样地构造一个可逆矩阵，得证结论，再由函数的连续性知对原矩阵也有相同的结论。
4.1 设A为实对称矩阵，则有：
1) 当正实数t充分大时，tE?A是正定矩阵; 2) 当正实数?充分小时，E??A是正定矩阵;
3) A?0时，存在实维向量X，使X'AX?0.
证明：1)首先，由于A是实对称矩阵，故对任意实数t，
?t?a11a12?a21t?a22?tE?A??......??aan2?n1...a1n??...a2n? 其中A=?aij?n?n
......??...t?ann?n?n其次，令f1(t),f2(t),...,fn(t)为tE?A的顺序主子式，即它们分别是tE?A的各阶子式的行列式，由行列式的知识知，将各个行列式展开都是首项系数为1的实系数多项式，于是也是关于t的连续函数，由多项式的知识，对充分大的正实数t，可使fi(t)?0,i?1,2,...,n，因此，对充分大的正实数t，可使得tE?A为正定矩阵。
1?1?2）由于对任何正实数?都有E??A???E?A?，而当?充分小时，为充
????1分大的正数，因此由1）知E?A为正定矩阵，从而E??A也是正定矩阵。
?3）令f?t??tE?A，存在t0，使f?t0??0，又f?0??A?0，f?t?是一连续函数，由介值性定理知，存在???0,t0?，使f????0，即?E?A?0。下面
考虑齐次线性方程组??E?A???0，由于它的系数矩阵为?E?A，而
?E?A?0，由齐次线性方程组的知识知，方程组??E?A???0有非零解?0，
?x1???x2??即??E?A??0?0，其中设?0?，在等式两边同时乘上?0T得到??????xn?，由于?0T??E?A??0?0，即??0T?0??T?0,那么?0TA?0????T0A?00?0??0??xi2?0且???0,t0?，所以??0T?0?0，故?0TA?0?0，那么?0即为
T0i?1n所求实维向量。
注30：在第3）的证明中，先利用到函数的介值性，接着联系齐次线性方程组的知识得证。
4.2 与任意可逆矩阵可交换的矩阵必为数量矩阵。
?1??? 证明：设A与任意n阶可逆矩阵可交换，则与B????也可交换，
?n????010???0???001???0??及与C??????????????????可交换，现在设A??aij?，则由AB=BA可得
??000???1???100???0????a11??a21??????an12a122a22???2an2???na1n??a11?????na2n??2a21?????????????????nann??nan1a122a22???nan2a1n?????2a2n?，
???????????nann????从而得jaij?iaij, i,j?1,2,?,n，于是当i?j时得aij?0。
?0??0又由AC=CA可得??????0?a?nna110???000???00????????????a22?????0??0??0???????????an?1,n?1??0?0???a110a220???000???a33?????????00??????0??0????? ?ann?0??从而又得a11?a22??ann，即A为数量方阵。
由该结论下面讨论不利用特殊矩阵而证得与任意不可逆矩阵可交换的均是数量矩阵。即设A与任意不可逆n阶方阵可交换，则A必为数量矩阵。
设B为任一不可逆矩阵，且AB=BA, 令
b12?t?b11?b21t?b22?Bt?tE?B?????????bn2?bn1b1n?????b2n?， 其中B??bij?n?n
???????????t?bnn????则Bt是关于t的n次多项式，因此，由多项式的根的存在性定理即定理二知它存在n个根t1,t2,...,tn，设t1,t2,...,tn不全为零，并记t0?min?ti:ti?0,1?i?n?，取正数?，使得0???t0，于是对任意的t，0?t??,Bt?0，即Bt可逆。又有
ABt?A??E?B???A?AB??A?BA???E?B?A?BtA, 即A与Bt可交换，由4.2我们知A为数量矩阵，证得结论。
注30：在对这个结论的证明中，可采用取特殊矩阵讨论得出结论，但以上得用在可逆满足结论的情况下构造一个新的矩阵，再应用函数的连续性，亦可证得结论，不失为另一种证法。
4.3、设n阶实矩阵A??aij?，证明：若aii??aij,1?i?n，则A?0。
j?i?a11a12x?a21xa22?B?证明:令
?????an1xan2xj?i?a1nx???a2nx?，则f?x??B是一个实系数多项式，当
?????ann?j?ij?i0?x?1时，有aii??aij?x?aij??aijx，由引理5知，对?0,1?上的任何数x都有f?x??0，特别当x?1时有A?0。若A?0，即f?1??0，又
f?0??a11a.2?.ann.?，由0f?x?的连续性知存在x0，0?x0?1使f?x0??0，这2与f?x??0矛盾，因此A?f?1??0。
五、总 结
以上讨论了函数连续性在矩阵分析中的若干应用问题，对于有关涉及到伴随矩阵的特性、行列式计算或二次型正定性判定等相关问题时，可能借助于一簇方
阵At?tE?A进行处理，充分利用连续函数的定义及介值性等性质得到一些问题的新解法，这将使问题在一定程度上简化，有助于促进将分析中的理论与代数中的理论相结合。