（2）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，即可得∠ABC=∠PAC=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAC=∠P，然后在Rt△PAC中，求得cos∠P的值，即可得cos∠BAC的值。
24．（2012湖南永州10分）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示．Q（1，3）是函数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．
（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长； （2）求∠B的度数；
（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围． 【答案】解：（1）AB=2；AH=3。
（2）在Rt△ABH中，AH=3，BH=1，tan∠B=3，∴∠B=60°。 （3）①当∠APB为钝角时，此时可得x＜1；
②当∠BAP为钝角时，
过点A作AP⊥AB交BC于点P。 则BP?AB2∴当4＜x≤6时，∠BAP为钝角。 ==4，
cos?B12综上所述，当x＜1或4＜x≤6时，△ABP为钝角三角形。
【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）当x=0时，y的值即是AB的长度，故AB=2；，图乙函数图象的最低点的y值是AH的值，故AH=3。
（2）当点P运动到点H时，此时BP（H）=1，AH=3，在Rt△ABH中，可得出∠B的度数。 （3）分两种情况进行讨论，①∠APB为钝角，②∠BAP为钝角，分别确定x的范围即可。
25．（2012湖南永州10分）如图所示，已知二次函数y=ax+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数y=ax+bx﹣1（a≠0）的解析式； （2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|和|PH|的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2
2
2
2
【答案】解：（1）∵二次函数y=ax+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），
2
?1?4a+2b?1=012?a=∴?，解得?4。∴二次函数的解析式为y=x﹣1。
4?16a+4b?1=0-??b=0（2）当﹣2＜x＜2时y＜0。 （3）当m=0时，|PO|=1，|PH|=1；
当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|=4，|PH|=4； 当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|=25，|PH|=25。 由此发现|PO|=|PH|。 设P点坐标为（m，n），即n=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
m﹣1 42
2
2
2
|OP|2= m+ n，|PH|=（n+2）2=n+4n+4=n+m。 ∴对于任意实数m，|PO|=|PH|。
（4）存在。由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形。
设P点坐标为（m，n），|OP|2= m+ n，|OH|2=4+ m， 由|OP|=|OH|得，m+ n=4+ m，即n=4，解得n=±2。 当n=﹣2时，n=
2
2
2
22
2
2
2
12
m﹣1不符合条件， 4
当n=2时，由2=
12
m﹣1解得m=±23。 4∴故当m=±23时可使△POH为正三角形．
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，等边三角形的判定。
【分析】（1）根据二次函数y=ax+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出。
（2）令y=
2
12
x﹣1=0，解得x=﹣2或x=2，由图象可知当﹣2＜x＜2时y＜0。 42
2
（3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|和|PH|的值．然后观察其规律，再进行
证明。
（4）由（3）知OP=OH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n
的表达式，令两式相等，求出m和n的值。