（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长． 31．解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D， ∵点E、F分别是边BC、AD的中点， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， ?AB?CD?∵??B??D， ?BE?DF?∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点E是边BC的中点， ∴AE⊥BC， 在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4， sin60°=AEAE?， AB4解得AE=23． 32．（2013?贵阳）已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC． （1）求证：AE=EC； （2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由． 32．（1）证明：如图，连接AC， ∵BD也是菱形ABCD的对角线， ∴BD垂直平分AC， ∴AE=EC； （2）解：点F是线段BC的中点． 理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AE=EC，∠CEF=60°， ∴∠EAC=1∠BAC=30°， 2∴AF是△ABC的角平分线， ∵AF交BC于F， ∴AF是△ABC的BC边上的中线， ∴点F是线段BC的中点． 33．（2013?曲靖）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G． （1）求证：△DCF≌△ADG． （2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值． 33．（1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°， ∵CF⊥DE， ∴∠CFD=∠CFG=90°， ∵AG∥CF， ∴∠AGD=∠CFG=90°， ∴∠AGD=∠CFD， 又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°， ∠DCF+∠CDE=90°， ∴∠ADG=∠DCF， ??AGD??CFD?∵在△DCF和△ADG中，??ADG??DCF， ?AD?DC?∴△DCF≌△ADG（AAS）； （2）设正方形ABCD的边长为2a， ∵点E是AB的中点， ∴AE=1×2a=a， 2AD2?AE2?(2a)2?a2?5a， 在Rt△ADE中，DE=∴sin∠ADG=AEa5， ??ED55a∵∠ADG=∠DCF=α， ∴sinα=5． 535．（2013?绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度． 35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， 则在△BAD和△CAF中， ?AB?AC???BAD??CAF， ?AD?AF?∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD=CF， ∵BD+CD=BC， ∴CF+CD=BC； （2）CF-CD=BC； （3）①CD-CF=BC ②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF， ∴∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ?AB?AC???BAD??CAF， ?AD?AF?∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD， ∵∠ABC=45°， ∴∠ABD=135°， ∴∠ACF=∠ABD=135°， ∴∠FCD=90°， ∴△FCD是直角三角形． ∵正方形ADEF的边长为22且对角线AE、DF相交于点O． ∴DF=2AD=4，O为DF中点． ∴OC=1DF=2． 236．（2013?盘锦）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF． （1）如图??，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形； （2）如图??，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由； （3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．
36．解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90° ∵在△PBA和△FBC中，
?AB?BC???PBA??ABC， ?BP?BF?∴△PBA≌△FBC（SAS）， ∴PA=FC，∠PAB=∠FCB． ∵PA=PE，
∴PE=FC． ∵∠PAB+∠APB=90°， ∴∠FCB+∠APB=90°． ∵∠EPA=90°，
∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°， 即∠EPC+∠PCF=180°， ∴EP∥FC，
∴四边形EPCF是平行四边形；
（2）结论：四边形EPCF是平行四边形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90° ∵在△PBA和△FBC中，
?AB?BC? ??PBA??ABC， ?BP?BF?∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA=FC，∠PAB=∠FCB． ∵PA=PE，
∴PE=FC． ∵∠FCB+∠BFC=90°， ∠EPB+∠APB=90°， ∴∠BPE=∠FCB， ∴EP∥FC，
∴四边形EPCF是平行四边形； （3）设BP=x，则PC=3-x 平行四边形PEFC的面积为S， S=PC?BF=PC?PB=（3-x）x =-（x-329）+． 24∵a=-1＜0， ∴抛物线的开口向下， 33时，S最大=， 2233∴当BP=时，四边形PCFE的面积最大，最大值为． 22∴当x=