则当C?1时，CY服从?2分布． 3八、解：检验假设
H0:???0?12cm，H1:???0
由于显著性水平?＝0.05，查表得z??z0.05＝1.645． 因为
u?x??0?/n?13.2?122.6/100?4.615>1.645=z??z0.05
则拒绝原假设H0:???0?12cm，即在显著性水平?＝0.05下，认为该批木材的平均小头直径在12cm以上． [模拟试卷4答案(3学分、4学分)]
一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上．若每
个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？
33解：假设每个铆钉都已编号，则样本空间S中的样本电数?[S]= C50?C47???C23．
3设Ai =“3个次品铆钉恰好用在第I个部件上”，i=1、2、?、10
A=“3个次品铆钉恰好用于同一部件”
333Ai中的样本点个数?[Ai]= C47?C46???C23，P(Ai)= ?[Ai]/?[S]=1/19600．
P(A)=
?10i?1P(Ai)=1/1960．
二、(14分)已知随机变量X的概率密度为f?x???（2）P{0.5?X?3}；（3）P{X?x}． 解：(1)由归一性，得
?1?2Ax,0,?0?x?1，求：（1）参数A；
其他???f(x)dx??2Axdx?1030.5x?1A?1(2)p{0.5?x?3}?(3)p{X?x}?x?f(x)dx??2xdx?0.750.5???f(t)dt
当x?0时，?f(t)dt?0??xx2当0?x?1时，f(t)dt?2tdt?x????0第 16 页 共 23 页
三、（14分）设随机变量X和Y的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从
均匀分布,试求随机变量U?X?Y的方差．
解：由题意，(X,Y)的密度函数为
?2,0?x?1,0?y?1,x?y?1, f(x)??其它,?0,
则
1??2dy,0?x?1?2x,0?x?1 f(x,y)dy???1?x????0,其它0,其它?fX(x)??
得
????EX?则
?102x2dx?2;EX2?3?102x3dx?1; 2DX?EX2?(EX)2?
同理，EY?2,DY?1．
1 18318则
11cov(X,Y)?EXY?EX?EY?2?xdx?ydy?01?x22541?????． 3312936 则
DU?D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)?四、(12分）已知(X,Y)的概率密度函数为
1121???． 18183618?x?y,0?x?1,0?y?1． f(x,y)??其它?0,（1）求X与Y的相关系数?XY；（2）试判断X与Y的独立性． 解：（1）?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)1
7?0?012
117E(Y)???y(x?y)dxdy?0012E(X)?1x(x?y)dxdy?第 17 页 共 23 页
E(XY)???0110xy(x?y)dxdy?1 3
?cov(X,Y)?111771???? 31212144x2(x?y)dxdy?11
E(X)?2??005 12
5?0?012
57211?D(X)?D(Y)??()?1212144E(Y2)?y2(x?y)dxdy?故?XY??1 11（2）??XY?0 ?X与Y不独立．
五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立．已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布．现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？
解：设1000户居民每天用电量为X度，则由中心极限定理，X~N(EX,DX)，其中
20210000EX?1000×10=2000，DX=?1000?．再设供应站需供应L度电才能满足
123条件，则
P{X?L}??(L?2000100000/3L?2000100000/3)?0.99
即
?2.33，则L=2426度．
六、（8分）在总体X~N(12,4)，从X中随机抽取容量为6的样本(X1?,X6).求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率．
解：设总体由题意：X~N(12,2/3)，则X?EX~N(0,2/3)，所求概率为 P{|X?EX|?2}?1?P{|X?EX|?2}?1?[?(2/2/3)??(?2/2/3)]
)]＝0.01． ＝2[1??(2.4495七、（14分）设总体X的密度函数为
??x??1,0?x?1 f(x)??0,其它?其中?是未知参数，且??0．试求?的最大似然估计量．
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解：设x1,x2,?,xn是X的子样观察值，那么样本的似然函数为
L(?)??n?x?ii?1n?1，
就有
lnL(?)?nln??(??1)?lnxi，
i?1n于是，似然方程为
dlnL(?)nn???lnxi?0，
d??i?1从而，可得
????n?lnXi?1n
i八、（14分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布N(54,0.75)，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：
55.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3
如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取??0.05）？ 解：按题意，要检验的假设是
H0:??54，因?2已知，故用U?检验法，由??0.05，查正态表得临界值
z??1.96，由样本值算得
x?54.46,u?1.94
因为u?1.96，故接受假设H0，即在??0.05时，即可以认为该日生产的零件的平均重量与正常生产时无显著差异． 附表一：
?(0.2222)?0.5871,?(1.64)?0.9495,?(1.65)?0.9505,?(1.96)?0.9750,?(2.108)?0.9826,?(2.33)?0.9901,?(2.45)?0.9929，?(2.575)?0.9950.
[模拟试卷5答案(4.5学分)]
一、一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、?、10的球．今从此袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率．
解：以三个球相应号码的组合为样本点构成样本空间S，则样本空间S中的样本点个数
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3
?[S]=C10=120．
设 事件 A=“最小号码为5”， B=“最大号码为5”，
C=“一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5”．
33A中的样本点个数?[A]= C6－C5=10， P(A)= ?[A]/ ?[S]=1/12， 33B中的样本点个数?[B]= C5－C4=6， P(B)= ?[B]/ ?[S]=1/20， 11C中的样本点个数?[C]= C4=20， P(C)= ?[C]/ ?[S]=1/6. C5二、随机变量X~U(?1,1),求Y?X的分布函数与概率密度．
2?1?解：?fX?x???2??0?1?x?1其它,且y?g(x)?x2,
y?0?0?y?1?FY?y???fX?x?dx???dx0?y?1x2?y??y2?y?1?1
?0???y?1?y?00?y?1y?1,
?1?fY(y)?FY'(y)??2y?0?0?y?1其它.
三、设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,
且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与孵化为成虫数Y的联合分布律． 解：本题已知随机变量X的分布律为
50i?50P?X?i??e,i?0,1,2,?
i!由题意易见，该昆虫下一代只数Y在X?i的条件下服从参数为i,0.8的二项分布,故有
P{Y?j|X?i}?Cij0.8i0.2i?j，j?0,1,...,i
Y?i|X?i?P?X?i?,得(X,Y)的联合分布律为： 由P?X?i,Y?j??P?P{X?i,Y?j}?Ci0.80.2jji?j50i?50e，i?0,1,?;j?0,1,?,i. j!第 20 页 共 23 页