本科学生毕业论文（设计）
题目 高等数学在经济学中的应用 学院 数学计算机科学学院 专业 数学与应用数学 学生姓名 郭庆友 学号 0807034 指导教师 朱春荣 职称 副教授 论文字数 7584
完成日期 2102 年 04 月 20 日
目 录
1 引 言 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃1 2 微分在经济学中的应用 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃2 2.1 边际分析〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃2 2.2 最优化问题 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃4 2.3 弹性分析 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃6 3 积分在数学中的应用〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃11 4 函数在生产中的应用 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃12 5 概率论在经济学中的应用〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃14 6 总结〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃14 7 参考文献〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃15 8 致谢 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃16
I
高等数学在经济学中的应用
郭庆友, 数学计算机科学学院
摘 要：高等数学在经济学发展中具有重要的作用。本文主要阐述了高等数学，
包括微分、积分、函数和概率论在经济学中的应用，并总结了高等数学在经济学研究中的意义。
关键字：高等数学；经济学；微分；积分；函数；概率论
Application of Advanced Mathematics in Economics
Guoqing You, College of Mathematics and Computer Science
Abstract: Advanced mathmatics plays an important role in the development of
economics. This paper discusses the application of advanced mathematics in economics, including differntiation, integration, function and probability theory, and sums up the significance of advanced mathematics applied in the research of economics.
Keywords: advanced mathematical; economics; differentiation; integration;
function; probability theory
1 引言
经济学在古代就有先人开始研究，他们就懂得经营之道，在古代苏格兰经济学家亚当.斯密写过《国富论》，是一部经典的经济学著作，自此人们越来越注意经济学在国家的富强和发展中的作用，经济学的研究方法也受到人们的关注，从逻辑上的文字分析，不满足一些精细的严密的理论分析，数学和经济学的结合，是的经济学的发展带来了很大的进步，让经济学成为一门逻辑思维严谨的学科，给经济学带研究方法带来质的飞跃，成为经济学分析方法上的里程碑。
19 世纪30 年现代数学方法开始在经济学中被大量运用，法国的经济学家古诺就是十分重要的奠基者和开拓者。他设立了诺贝尔经济学奖，推动了经济数学化。当中很多获奖者都是数学家兼经济学家，他们运用数学方法，将数学与经济学巧妙地结合起来， 由此提高了经济学理论的科学性， 使人们更加了解经济学中的规律性以及其潜在中存在的巨大风险。
1
高等数学作为初等数学的延伸，主要研究变动的量，文献[1]中主要介绍了包括微积分学、概率论与数理统计、以及深入的代数学和几何学等。高等数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，在各个领域都有广泛的应用。在文献[2-4]和文献[5]中都介绍到了数学在经济学中的应用，本文将具体地阐述高等数学在经济学中的应用，包括微分、积分、函数，以及概率论在经济学中的应用。
2 微分在经济学中的应用
在阐述微分在经济学中的应用之前，先介绍有关微分的一些基本概念和定理。[1]
定义1 设函数y?f(x)在U(x0)有定义，在x0自变量x的改变量?x，相应函数的该变量限
f(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?xlim存在，称函数f(x)在x0可导（或存在导数），此极限称为函数f(x)在x0的导数（或微商），表为f?(x0)或
dydxx?x0，即 f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0) 或
?xf(x0??x)?f(x0). x?x0?x?0?xf(x0??x)?f(x0)?y 若极限lim不存在，称函数f(x)在x0不可导。 ?lim?x?0?x?x?0?xf(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y?y若极限lim? 与 lim? ?lim??lim??x?0?x?x?0?x?0?x?x?0?x?x?limdydx都存在，则分别称为函数f(x) 在x0右可导和左可导，其极限分别称为函数f(x)在
x0的右导数和左导数，分别表为f??(x0)与f??(x0)，即
f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?， ?lim?f?(x0)= lim??x?0x?x0?xx?x0f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?=lim?. f?(x0)= lim?x?0x?x?xx?x00?定理 1 假设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么f?(x0)?0. 定义2 设函数z?f(x,y)，(x,y)?D。若(x0,y0)?D，且f(x,y0)在x0的某一邻域内有定义，则当极限 ?f(x0,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)limx?lim ?x?0?x?0?x?x存在时，称这个极限为函数f在点(x0,y0)关于x的偏导数，记做
2
fx(x0,y0)或
?f.
?x?x0,y0?定理 2 若函数f在点P0(x0,y0)存在偏导数，且在P0(x0,y0)取得极值，则有
fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0.
微分在经济学中，主要应用在边际分析、最优化问题、弹性问题、生产优化和风险不确定性问题等等中。
2.1 微分在边际分析中的应用
在经济学中, 常常会用到变化率这一基本概念, 作为变化率又可分为平均变化率和边际量。平均变化率就是函数增量与自变量量之比, 如常用到的劳动的平均产量、平均利润、平均成本; 边际量是表示一单位的自变量的变化量所引起的因变量的变化量。从数学意义上讲, 如果函数是连读的, 则边际量表示当自变量的改变量趋于零。此时,因变量的相应改变量与其的比值, 表示为
?因变量(x)d因变量(x)?,
?x?0?xdxlim亦即函数对自变量的导数
f(x??x)?f(x)?f?(x).
?x?0?x在边际量的研究中，主要包括边际成本和边际收入的分析。
lim
2.1.1 边际成本
在经济学中，把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数。设某产品的成本函数为C?C(q),q为产量。根据定义，边际成本为
C(q?1)?C(q)??C,由微分的定义，当?q变化很小的时候，?q=dq，
?C(q)?dC(q)?C'(q)。C'(q)为边际成本函数。可见，边际成本约等于成本函数
的变化率， 通过函数的一阶导数来衡量边际成本的函数值。其几何意义为：在每一产量水平上的边际成本就是相应的总成本曲线在该点处切线的斜率，即总成本函数在该产量处的导数值。在经营管理中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算。
例1某种产品的总成本C（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式为
C?C(q)?100?4q?0.2q2?0.01q3 ，
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