中考数学专题复习：有理数
（一）数的分类（强化记忆） ???正整数???整数?? ?零???? ?负整数?有限小数或无限循环小数?有理数?? 实数?正分数???分数负分数?? ??? 正无理数?无理数?无限不循环小数 ? 负无理数???
?????正整数??正有理数??正实数??正分数???正无理数? ?实数?0???负整数?负有理数??负实数???负分数????负无理数???正整数正有理数?正分数???有理数?零??负整数?负有理数??负分数???正整数?整数?零???有理数??负整数 ??正分数?分数??负分数?
（按符号分） （按定义分、按性质分）
注意点：
(1)凡能写成
q(p,q为整数且p?0)形式的数，都是有理数 p（2）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数. （3）0即不是正数，也不是负数。0是正数与负数的分界；0不仅表示没有，还表示某种量 的基准。如0错误！未找到引用源。不能理解为没有温度。
（4）初中范围内 数是指实数 正数是指正实数 负数是指负实数
（5）对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数 误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数 例-a不一定是负数，+a 也不一定是正数；
（6）?不是有理数，而是无理数；
（7）非负整数应理解成“非负的整数”，不能理解成“‘非'负整数”，即正整数与零。
例1、把下列各数填在相应的集合里
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5，-2，4.6，错误！未找到引用源。，0，-2.25，1错误！未找到引用源。，+0.34，+13，-3.1416，错误！未找到引用源。
整数集合｛ 5，-2，0，+13，…｝ 非负整数集合{5，0，+13，… }
负分数集合｛错误！未找到引用源。，-2.25， -3.1416，…｝ 正有理数集合｛5， 4.6，1错误！未找到引用源。，+0.34，+13，错误！未找到引用源。｝
例2：一种商品的标准价格是200元，但是随着季节的变化商品的价格可浮动±10％， （1）±10％的含义是什么？（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格。
（3）如果以标准价为“基准”，超过“基准”记为“+”，低于“基准”记为“-”，那么该商品价格浮动的范围又可以怎样表示。
解：（1）±10％的含义是在标准价格的基础上加价和降价的幅度不超过10％。 （2）最高价格：200×（1+10％）=220（元） 最低价格：200×（1-10％）=180（元） （3）180-200=-20（元）220-200=20（元）
以标准价格是200元为“基准”，该商品价格浮动的范围为±20元。
例3、光盘的质量标准中规定：厚度为(1.2±0.1)mm的光盘是合格品，说说1.2mm和±0.1mm所表示的意义。 解：1.2mm表示光盘的标准厚度；±0.1mm表示光盘厚度最大不超过标准厚度0.1mm, 最小不低于标准厚度的0.1mm.
（二）正数与负数表示具有相反意义的量。这样使用负数后，在表示具有相反意义的两个词语之中，
只用一个词语就可以把事情说清。如减少5hm 就可以说成增加 -5hm.(注意“两变”） 常见的相反意义的量：高于与低于，零上与零下，盈利与亏损，增加与减少，上升与下降。 例1.“甲比乙大-2岁”表示的意义是（ A）
A、甲比乙小2岁 B、甲比乙大2岁 C、乙比甲大-2岁 D、乙比甲小2岁
2
2
（三）数轴、相反数、绝对值、倒数的概念（强化记忆）
1、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。（4）同一数轴的单位长度必须一致
2．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ?a+b=0 ? a、b互为相反数.（3）互为相反数的两数绝对值相等。
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3.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
?a(a?0)(a?0)??a(2) 绝对值可表示为：a??0(a?0)或a?? ；绝对值的问题经常分类讨论；
?a(a?0)????a(a?0)注：x?2的解为x??2；而?2?2，但少部分同学写成 ?2??2．
1； a4.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么a的倒数是
1-1
也可表示为a,若ab=1? a、b互为倒数；若ab＝－1? a、b互为负倒数. a例1.已知A、B两点坐标分别为﹣3、﹣6，若在数在线找一点C，使得A与C的距离为4；找一点D，使得B与D的距离为1，则下列何者不可能为C与D的距离（ ）
A、0
B、2 C、4
D、6
分析：将点A、B、C、D在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算CD的长度． 解：根据题意，点C与点D在数轴上的位置如图所示：
在数轴上使AC的距离为4的C点有两个：C1、C2数轴上使BD的距离为4的D点有两个：D1、D2 ∴①C与D的距离为：C2D2=0；②C与D的距离为：C2D1=2； ③C与D的距离为：C1D2=8；④C与D的距离为：C1D1=6； 综合①②③④，知C与D的距离可能为：0、2、6、8．故选C．
点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，
体现了数形结合的优点．
（四）非负数定理：几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0 （强化记忆）
注：非负数：零和正数统称非负数。常见的非负数的形式：|a| 、a； 例1、已知(x?3)2?y?3?0 ,求(?x)?(?y)?()332xy2010 的值。
解：∵(x?3)2?y?3?0 ∴ x-3=0,y+3=0 ∴x=3,y=-3 ∴原式=(-3)+3-(-1)
3
3
2010
=-27+27-1=-1
（五）实数大小的比较（强化记忆）
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（1）利用数轴：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（2）利用绝对值：正数＞0＞负数，正数＞负数，两个负数，绝对值大的反而小；
(3)作差比较法：设a、b是两个任意实数，则a?b?0?a?b,a?b?0?a?b,a?b?0?a?b（ 4）作商比较法：设m、n是两个正实数，则（5）平方法：先平方再作差 （6）倒数法
mmm?1?m?n,?1?m?n?1?m?nnnn例1、已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示，现比较a,b,-a,-b的大小b<-a
b0a
例2、比较下面两列算式结果的大小：（在横线上选填“>”、“<”、“=”）
…… 通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。 解：横线上填写的大小关系是＞、＞、、=． 22
一般结论是：如果a、b是两个实数，则有a+b≥2ab）
22222
证明：作差∵a+b﹣2ab =（a﹣b）≥0 ∴a+b≥2ab
（六）实数的加、减、乘、除、乘方运算（强化记忆）
1. 加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数.
2．加法运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 3．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 注：有理数加减法法则 （口诀记法）
先定符号，再计算,同号相加不变号.异号相加“大”减“小”，符号跟着“大数”跑.
4.乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定,当负因数个数为奇数个时积为负，当负因数个数为偶数个时，积为正。
5.乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .
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6．有理数除法法则：同号为正，异号为负，并把绝对值相除。除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：
零不能做除数，即无意义.
7．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 8．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (－a)n=-an
或(a －b)n=－(b－a)n, 当n为正偶数时: (－a)n =an 或 (a－b)n=(b－a)n . 特殊情况:当n为正奇数时: (－1)n=－1;当n为正偶数时: (－1)n=1
a0注：“奇负偶正”的应用· （1）、如下符号的化简（指负号的个数与结果符号的关系），如：-{+[-(-2)]}= -2 （2）、连乘式的积（指负因数的个数与结果符号的关系），如： (-1)×(-2)×(-3)×(+4)=-24(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24 （3）、负数的乘方(指乘方的指数与结果符号的关系)，如：(-2)3=-8, (-3)2=9 （4）、分数的符号法则（指的是分子、分母及分数本身三个符号中，同时改变两个，值不变，
a?aa但改变一个或三个都改变时，分数的值就变相反了），如：?1??1?1；?? ?22?2bb?b
9.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 有括号先算括号里的运算。在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如5÷10. 整数指数幂的有关运算及乘法公式 ①am1×5. 5an?am?n(m,n是整数)表述: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
nm－n②a÷a?amnm(m,n是整数)表述: 同底数幂相除，底数不变，指数相减，
③(a)?a(m,n是整数)表述: 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ④(ab)?ab(n是整数)表述:积的乘方等于乘方的积 ⑤a?1(a≠0)表述:任何不等于0的数的0次幂等于1 ⑥a?pmnnnn0?1(a≠0,p为正整数)表述: 任何不等于0的数的-p次幂,等于这个数的p次幂的倒数 apanan⑦()?n(n是整数)表述:分式的乘方等于分子分母各自乘方。
bb⑧平方差公式：(a?b)(a?b)?a?b表述:两个数的和与两个数差的积等于这两个数的平方差。 ⑨完全平方和公式：
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