(a?b)?a?2ab?b表述: 两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的乘积的2倍 ⑩完全平方差公式：
(a?b)?a?2ab?b表述:两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的乘积的2倍 例1、已知a?3,b?2 ,且a-b<0,求a+b的值。
解：∵a?3,b?2 ∴a=±3，b=±2. ∵a-b<0 ∴a
2、a、b
互为相反数，c、d
20?a)092222互为倒数，x的绝对值等于2,试求
x2?(a?b?c)d?(x0b?(?的值)2c。d
解：∵a、b互为相反数 ∴a+b=0 ∵c、d互为倒数 ∴cd=1 ∵x?2 ∴x=±2
2010（0?1）?2?02009?（?1）?4?2?0?1?7 ∴当x=2时，原式=22? 当x=-2时，原式=(?2)?（0?1）?(?2)?0
例3、用“＞”，“＜”、“＝”填空。
220092010?（?1）?4?2?0?1?3
22（1?2）（1） ＝ 1?2?1?2?2 (2)(3?5) ＝ 32?2?3?5?52
22（3）[(?2)?(?3)] ＝ (?2)?2?(?2)?(?3)?(?3)
请通过以上式子观察归纳，试猜想：对于任意两个数a、b总有(a?b)?a?2ab?b 结论成立。
例4、计算、观察、猜想与应用：
222（3?5）（1）算一算：下面两组算式 与3?5 ；[(?2)?3]与(?2)?3 ,每组两个算式的结果是否相同？
22222222（2）想一想：(ab) 等于什么？
（3）猜一猜：当n为正整数时，(ab)等于什么？你能用乘方的意义说明理由吗？ （4）用一用：利用上述结论，求(?8)20113n1?()2012 的值。 8222（3?5）?152?225，32?52?9?25?225； 解:(1) ∵
（?6）?36 (?2)?3?4?9?36 [(?2)?3]? ∴每组两个算式的结果相同
33 （2）(ab) 等于ab
223 (3)猜想：当n为正整数时(ab)?ab
nnn(ab)?(ab)(ab)(ab)??????(ab)?(aaa??????a)(bbb??????b)?ab
理由：
n个abn个an个bnnn
第6页
（七）周期性问题即同余问题（强化记忆）
这类问题要紧紧抓住周期与余数，余数相同性质也相同。
例1、（2011浙江省舟山）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） （A）2011
（B）2011
（C）2012
（D）2013
… …
红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫
解: ∵纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列 ∴周期为5 ,故可设截去部分纸环的个数为x个，则 (8+x+1)被5后余数为2，仅D选项符合要求。
例2、（2011山东日照）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（ ）
（A）第502个正方形的左下角 （B）第502个正方形的右下角
（C）第503个正方形的左上角 （D）第503个正方形的右下角
解：通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2 ∵2011÷4=502…3， ∴数2011应标在第503个正方形的左上角． 故选C．
例3、（2011河北）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5.若从某一顶点开始，沿正五边形的
边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号为___________．
15432
解：∵2→3→4, 4→5→1→2→3, 3→4→5→1 , 1→2 ∴小宇从编号为2的顶点开始，四次移位为一个循环， 第10次“移位”，即连续循环两次，再移位两次，即第十次移位所处的顶点和第二次移位所处的顶点相同， 故回到顶点3．故填：3．
例4、（2010安徽）下面两个多位数1248624……，6248624……，都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位;若积为两位数，则将其个位数字写在第2位，对第2位数字再
第7页
进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数了进行如上操作得到的，当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ） A、495 B、497 C、501 D、503
解：当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数36 2486 2486 2486 2486 …．
仔细观察36 2486 2486 2486 2486 …中的规律，这个多位数前100位中前两个为36，接着出现2486 2486 2486…，所以36 2486 2486 2486 2486 …的前100位是36 2486 2486 2486…2486 1486 1486 24（因为98÷4=24余2，所以，这个多位数开头两个36中间有24个2486，最后两个24，因此，这个多位数前100位的所有数字之和=（3+6）+（2+4+8+6）×24+（2+4）=9+480+6=495．故选A．
例5、归纳猜想：2?2,2?4,2?8,2?16,2?32,2?64,2?128,,2?256 …… （1）通过观察，发现2 的个位数是由 4___种数字组成的，它们分别是 __2，4，8，6__； （2）用你发现的规律写出下列数的个位数字：2 __4__，2 __8__， （3）猜想：2n2010n123456781011 的个位数字，并说明理由；（4）猜想：8 的个位数字，并说明理由.
9解：（3）∵2的个位数按2,4,8,6依次循环，且2010÷4＝502……2 ∴22010 的个位数字与2 的个位数字相同。∴2392722010 的个位数字为4.
（4）∵ 8?(2)?2 且 27÷4＝6……3
∴8 的个位数字与2 的个位数字相同。∴8的个位数字为8
9939
（八）科学计数法、近似数与有效数字（强化记忆）
1．科学记数法：（1）当原数的绝对值≥10时，写成±a×10n 其中1≤a＜10, n＝整数位数－1。
（2）当原数的绝对值＜1时，写成±a×10－n，其中1≤a＜10,，n＝原数中左起第一个非零数字前面 所有零的个数（含小数点左边的那个零）．如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×105.
－
2.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
误差＝近似值－准确值。误差可以是正数、0、负数，误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值， 近似程度就越高
3.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 如
5
0.030是2个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14×10是3个有效数字；精确到千位.3.14万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位．
例1、(2012年安徽）2011年安徽省棉花产量约378000吨，将378000用科学计数法表示应是______________. 例2．(2011年安徽）安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学计数法表示3804.2千正确的是【 】 ．A．3804.2×103 B．380.42×104 C．3.8042×106 D．3.8042×107
例3、(2010年安徽）2010年第一季度，全国城镇新增就业人数为289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ） A、2.89?10 B、2.89?10 C、28.9?10 D、2.89?10
7654第8页
数学有理数易错题练习提及答案
1．填空：
(1)当a________时，a与－a必有一个是负数。
(2)在数轴上，与原点0相距5个单位长度的点所表示的数是________。
(3)在数轴上，A点表示＋1，与A点距离3个单位长度的点所表示的数是________。
(4)在数轴的原点左侧且到原点的距离等于6个单位长度的点所表示的数的绝对值是________。 (5)在数轴上到原点的距离等于23个单位长度的点所表示的数是__ ___。
(5)在数轴上到原点的距离等于23个单位长度的点所表示的数的绝对值是__ ___。 (7)绝对值小于4.5而大于3的整数是____ ____。 (8)代数式－|x|的意义是 。
(9)绝对值不大于4的负整数是____ ____。绝对值不大于2的整数 。绝对值小于5的偶数是 。
(10)如果－x=－(－11)，那么x=___ _____。
(11)用语言叙述代数式－a－3为 。 (12)如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数个数是________； (13)若a?0,且
a?0，则b满足的条件是 。 b(14)a,b互为相反数，则(a?b)是 。 2．用“有”、“没有”填空：
在有理数集合里，________最大的负数，________最小的正数，________绝对值最小的有理数。 3．用“都是”、“都不是”、“不都是”填空： (1)所有的整数________负整数； (2)小学里学过的数________正数； (3)带有“＋”号的数________正数； (4)有理数的绝对值________正数； (5)若|a|＋|b|=0，则a，b________零； (6)比负数大的数________正数。
4．用“一定”、“不一定”、“一定不”填空：（其中n为自然数） (1)－a________是负数；
(2)当a＞b时，________有|a|＞|b|；
(3)在数轴上的任意两点，距原点较近的点所表示的数________大于距原点较远的点所表示的数；
第9页
(4)|x|＋|y|________是正数； (5)一个数________大于它的相反数； (6)一个数________小于或等于它的绝对值；
(7)(?1)2n?1 _______是负数；(?1)n?2_______是负数；(?1)n?(?1)n?1________是零。 (8)有理数的平方________是正数；
(9)一个负数的偶次幂________大于这个数的相反数； (10)小于1的数的平方________小于原数； (11)一个数的立方________小于它的平方 5．用适当的符号(＞、＜、≥、≤)填空：
(1)若a是负数，则a________－a；(2)若a是负数，则－a_______0； (3)如果a＞0，且|a|＞|b|，那么a________ b．
(1)若b为负数，则a＋b________a；(2)若a＞0，b＜0，则a－b________0； (3)若a为负数，则3－a________3． (4)比较4a和－4a的大小
6．用“都”、“不都”、“都不”填空： (1)如果ab≠0，那么a，b________为零；
(2)如果ab＞0，且a＋b＞0，那么a，b________为正数； (3)如果ab＜0，且a＋b＜0，那么a，b________为负数； (4)如果ab=0，且a＋b=0，那么a，b________为零。 7．根据所给的条件列出代数式：
(1)a，b两数之和除a，b两数绝对值之和； (2)a与b的相反数的和乘以a，b两数差的绝对值； (3)一个分数的分母是x，分子比分母的相反数大6； (4)x，y两数和的相反数乘以x，y两数和的绝对值． (5)比a的相反数大11的数．
8．若a为有理数，求a的相反数与a的绝对值的和。
9．由|a|=|b|一定能得出a=b吗？
第10页