（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，
由勾股定理得 OB=OC=BC=2，
所以△OBC为等边三角形。
易证x轴所在的直线平分∠BOC，y轴是△OBC的一个外角的平分线，
作∠BCO的平分线，交x轴于M1点，交y轴于M2点， 作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交y轴于M3点， 反向延长线交x轴于M4点，
可得点M1，M2，M3，M4 就是到直线OB、OC、BC距离相等的点。 可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：
①OM1 ?33OB?233，所以点M1的坐标为（?233，0）。
②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（0 ，2），
③点M3与点A关于x轴对称，所以点M2的坐标为（0 ，-2），
④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N ， M4N ?32BC?3，且ON = M4N，
所以点M4的坐标为（?23，0）
综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为： M1（?7、
设抛物线y?ax2?bx?2与x轴交于两个不同的点A（－1，0）、
233，0）、 M2（0 ，2）、 M3（0 ，-2）、M4（?23，0）。
B（m，0），与y轴交于点C.且∠ACB＝90°.
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式，并验证点D（1，－3 ）是否在抛物线上；
（3）已知过点A的直线y?x?1交抛物线于另一点E. 问：在
x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标. 若不存在，请说明理由.
答案：解：（1）令x＝0，得y＝－2 ∴C（0，－2）??（1分） ∵∠ACB＝90°，CO⊥AB ，∴△AOC ∽△COB ，∴OA·OB＝OC2 ∴OB＝
OCOA2
＝221＝4 ∴m＝4 （2分）
6
（2）将A（－1，0），B（4，0）代入y＝ax21?a＝??2 ?bx?2，解得?3?b＝??2?∴抛物线的解析式为y＝当x=1时，y＝12x212x2?32x?2??（2分）
?32x?2=－3，∴点D（1，－3）在抛物线上。??（1分）
?y＝x?1?x1＝?1?x2＝6?（3）由? 得 ，∴E（6，7）??（2分） 123??y＝0y＝7?1?2?y＝x?x?222?过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）， ∴ AH＝EH＝7 ∴∠EAH＝45° 作DF⊥x轴于F，则F（1，0） ∴BF＝DF＝3 ∴∠DBF＝45° ∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°，90°<∠EBA<135° 则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况： ①若△DBP1∽△EAB，则
157137BP1AB137AE＝BDAE,∴BP1＝AB?BDAE＝5?3272＝157
∴OP1＝4?＝，∴P（1??（2分） ，0）＝BDAB225②若△DBP2∽△BAE，则∴OP2＝425?4＝225BP2,∴BP2＝AE?BDAB＝72?325＝425
∴P（2?137，0）??（2分）
（综合①、②，得点P的坐标为：P1，0）或P（2?225，0）
8、如图，抛物线的顶点坐标是?，－?2?59??，且经过点A( 8 , 14 ). 8?y ． A (1)求该抛物线的解析式；
(2)设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点 （点C在点D的左边）， 试求点B、C、D的坐标；
(3)设点P是x轴上的任意一点，分别连结AC、BC． 试判断：PA?PB与AC?BC的大小关系，并说明理由.
7
(第9题图)
B O C D x 5?9?答案：解（1）（4分）设抛物线的解析式为y?a?x?????1分
2?8?15?9? ∵抛物线经过A(8,14)，∴14＝a?8???，解得：a? ?2分
22?8?151?5?9 ∴y??x???（或y?x2?x?2） ???????1分
222?2?8 （2）（4分）令x?0得y?2，∴B(0,2)??????????????1分
222 令y?0得
x?2?0，解得x1?1、x2?4?????????2分
2 ∴C(1 , 0)、D(4 ,0 ) ??????????????????????1分
2x?125（3）（4分）结论：PA?PB?AC?BC ?????????????1分 y 理由是：①当点P与点C重合时，有
． A PA?PB?AC?BC ????????????1分
②当点P异于点C时，∵直线AC经过点A(8,14)、C(1,0)，∴直线AC的解
析式为y?2x?2 ???3分
B O C E P D x 设直线AC与y轴相交于点E，令x?0，得y??2， ∴E(0,?2)，
则点E(0,?2)与B(0,2)关于x轴对称
∴BC?EC，连结PE，则PE?PB， ∴AC?BC?AC?EC?AE，
∵在?APE中，有PA?PE?AE
∴PA?PB?PA?PE?AE?AC?BC?????????????1分 综上所得AP?BP?AC?BC??????????????????1分 9、如图，已知四边形ABCD是矩形，且MO=MD=4,MC=3. (1)求直线BM的解析式;
(2)求过A、M、B三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,使△PMB构成以BM为直角边的直角三角形?若没有,请说明理由;若有,则求出一个符合条件的P点的坐标.
y D M C A O B x 8
10、已知如图3，在Rt△OAB中，∠OAB＝90，∠BOA＝30，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一
象限内的点C处。 （1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y?ax2?bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。 答案:
解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H
00
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90，∠BOA＝30，AB＝2 ∴OB＝4，OA＝23
0
由折叠知，∠COB＝30，OC＝OA＝23
00
0
∴∠COH＝60，OH＝3，CH＝3
图3
∴C点坐标为（3，3）
（2）∵抛物线y?ax2?bx（a≠0）经过C（3，3）、A（23，0）两点
?3?32a?3b?a??1? ∴? 解得：?
2?b?23??0?23a?23b???? ∴此抛物线的解析式为：y??x2?23x
（3）存在。因为y??x2?23x的顶点坐标为（3，3）即为点C
MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，因为∠BOA＝300，所以ON＝3t ∴P（3t，t） 作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把x?3?t代入y??x2?23x得：y??3t2?6t
22 ∴ M（3t，?3t?6t），E（3，?3t?6t）
同理：Q（3，t），D（3，1） 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD
2 即3???3t?6t??t?1，解得：t1?43，t2?1（舍）
∴ P点坐标为（
433，
43）
433，
43 ∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（
9
）
11、在足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用“吊射”的战术（把球高高地挑过守门员的
头顶，射入球门）．一位球员在离对方球门30米的M处起脚吊射，假如球飞行的路线是
一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度
323米。如图a：以球门底部为坐标
原点建立坐标系，球门PQ的高度为2.44米．问：
（1） 通过计算说明，球是否会进球门？
（2） 如果守门员站在距离球门2米远处，而守门员跳起后最多能摸到2.75米高处，他能否在空中截住
这次吊射？ （3） 如图b：在另一次地面进攻中，假如守门员站在离球门中央2米远的A点处防守，进攻队员在离球
门中央12米的B处以120千米/小时的球速起脚射门，射向球门的立柱C．球门的宽度CD为7.2
米，而守门员防守的最远水平距离S和时间t之间的函数关系式为S＝10 t ，问这次射门守门员能否挡住球？
答案：（1）解：设足球经过的路线所代表的函数解析式为y?a?x?14??2323，??（2分）
把（30，0）代入得：a??124，故y??124?x?14?2?323。??（2分）
当x?0时，y?2.5?2.44 所以球不会进球门。??（1分） （2）当x?2时，y?143?2.75??（2分）
所以守门员不能在空中截住这次吊射。??（1分） （3）连结BA并延长，交CD于点M，由题意M为CD中点，过A作
EF//CD。 由?BEA∽?BCM可得AE＝3??（1分） ∴BE＝109，t?3109100，S?310910?3??（2分）
答：这次射门守门员能挡住球。??（1分）
13
12、如图4，抛物线y=－ x2＋ x＋2 交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
22
C A 图4 O B （1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）在y轴上找点P，连结PB，若△PBC为等腰三角
形，求：点P的坐标； （3）在抛物线BC上取点E，连结CE和BE，△BCE
的面积是否存在最大值？若存在，求出点E的坐标及△BCE的最大面积．
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