北京市海淀区2011年高三年级第二学期期中练习
数 学 （理科） 2011.4
选择题 （共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要
求的一项.
21、已知集合A?x?R0?x?3，B?x?Rx?4，则A?B?
????A. x2?x?3 B. x2?x?3 C. xx??2或2?x?3 D. R 2．已知数列?an?为等差数列，Sn是它的前n项和.若a1?2，S3?12，则S4? A．10 B．16 C．20 D．24
3. 在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ?2cosθ，则下列各点在圆C上的是 π??A．?1,??
3??3π??C．?2,?
4???π? B． ?1,?
?6?5π?? D． ?2,?
4??开始??????输入xn?1n?n?1x?2x?14．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为 A．0 B．1 C．2 D．11 5．已知平面????l，m是?内不同于l的直线，那么下列命题中 错误的是 ．．
A．若m//?，则m//l B．若m//l，则m//? C．若m??，则m?l D．若m?l，则m?? 6. 已知非零向量a,b,c满足a?b?c?０，向量a,b的夹角为120，且|b|?2||a，则向量a与c的夹角为
?n≤3否是输出x结束A．60 B．90 C．120
2???D． 150
?7.如果存在正整数?和实数?使得函数f(x)?cos(?x??)（?，?为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么?的值为 A．1 B．2 C． 3 D. 4
22228．已知抛物线M：y=4x，圆N：(x?1)?y?r（其中r为常数，r?0）.
y12O1x过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足
AC?BD的直线l只有三条的必要条件是
A．r?(0,1] B．r?(1,2] C．r?(,4) D．r?[,??)
3232
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非选择题（共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
3?i? . 9．复数1?i10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3 频率组距 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 O
，
则它们的大小关系为 . （用“?”连接）
频率组距0.0008频率组距0.00080.00060.00040.00020.00060.00040.0002100015002000250030003500元O100015002000250030003500元O100015002000250030003500元甲乙丙A11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B， D是CE与⊙O的交点.若
?BAC?70?，则?CBE?______；若BE?2，CE?4，
则CD? .
BOCDE12.已知平面区域D?{(x,y)|?1?x?1,?1?y?1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y?kx（k?R）下方的概率为____________ .
13.若直线l被圆C:x2?y2?2所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：
x2?y2?1 ④ x2?y2?1 ①y?x?2 ② (x?1)?y?1 ③ 2与直线l一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号） 14．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x， △CPD的面积
222DAC为f(x).则f(x)的定义域为 ； f'(x)的零点是 .
PB
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三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题共13分）
在?ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知tanB?(Ⅰ)求tanA； (Ⅱ)求?ABC的面积.
16. （本小题共14分）
在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE?EB,AD//EF，EF//BC，
11，tanC?，且c?1. 23BC?2AD?4，EF?3，AE?BE?2， G是BC的中点．
AD(Ⅰ) 求证：AB//平面DEG；
(Ⅱ) 求证：BD?EG；
(Ⅲ) 求二面角C?DF?E的余弦值.
FE
GCB
17. （本小题共13分）
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为
2.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. 3(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
18. （本小题共13分）
已知函数f(x)?x?alnx，g(x)??（Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?g(x)，求函数h(x)的单调区间；
(Ⅲ)若在?1,e?（e?2.718...）上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求a的取值范围.
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1?a, (a?R). x
19. （本小题共14分）
x2y231已知椭圆C:2?2?1 (a?b?0)经过点M(1,),其离心率为.
22ab （Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设直线l:y?kx?m(|k|?1)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形2OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求OP的取值范围.
20. （本小题共13分）
已知每项均是正整数的数列A：a1,a2,a3,?,an，其中等于i的项有ki个(i?1,2,3???)， 设bj?k1?k2???kj (j?1,2,3?)，g(m)?b1?b2???bm?nm(m?1,2,3???).
（Ⅰ）设数列A:1,2,1,4，求g(1),g(2),g(3),g(4),g(5)；
（Ⅱ）若数列A满足a1?a2???an?n?100，求函数g(m)的最小值.
北京市海淀区2011年高三年级第二学期期中练习
数 学（理）
答案及评分参考 2011．4
选择题 （共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 B 8 D 非选择题 （共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）
9.1?2i 10. s1>s2>s3 11. 70?； 3 12.
1 13. ① ③ 14. (2,4); 3 2第 4 页 （共 11 页）
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I）因为tanB?11tanB?tanC，tanC?,tan(B?C)?, ???????1分
1?tanBtanC2311?23?1 . ???????3分 代入得到，tan(B?C)?111??23因为A?180??B?C , ???????4分 所以tanA?tan(180??(B?C))??tan(B?C)??1. ???????5分 （II）因为0??A?180?，由（I）结论可得：A?135? . ???????7分 因为tanB?11?tanC??0，所以0??C?B?90? . ????8分 23所以sinB?105. ????9分 ,sinC?105由
ac?得a?5， ???????11分 sinAsinC11acsinB?. ??????13分 22A所以?ABC的面积为：
16. （共14分）
D解：(Ⅰ)证明：∵AD//EF,EF//BC， ∴AD//BC.
又∵BC?2AD,G是BC的中点， ∴AD//BG，
GB ∴四边形ADGB是平行四边形，
∴ AB//DG. ?????2分 ∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，
∴AB//平面DEG. ???????4分 (Ⅱ) 解法1
证明：∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，
∴EF?AE，
CEHF又AE?EB,EB?EF?E，EB,EF?平面BCFE，
∴AE?平面BCFE. ?????????5分
过D作DH//AE交EF于H，则DH?平面BCFE.
∵EG?平面BCFE， ∴DH?EG. ?????????6分
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