等差、等比数列综合
教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题
2.突出方程思想的应用，能选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和能力 3.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式
4.解决应用问题时，分清是等差数列还是等比数列问题；分清an和Sn弄清项数n
双基联系 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2?a5?a7?a9?a12是一个确定的常数，则下列表达式也是一个确定的常数的是 ( ) A.S5 B.S7 C.S9 D.S13
2.已知等比数列{an}，若a2a5a9a12?16，则a6a7a8? ( ) A．4 B．8 C．±4 D．±8
3.命题p：若2b=a＋c，则a，b，c成等差数列；命题q：若b?ac，则a，b，c成等比数列。下列判断中正确的是 ( ) A．p或q是假命题 B．p且q是真命题 C．p且q是假命题 D．以上都不对 4.在等差数列{an}中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1＋a4＋a25=114，则成等比数列的这三个数依次为 . 5.设{an}为等差数列，bn?()n，已知b1?b2?b3?求等差数列的通项an.
212a211，b1b2b3?， 88典型例题 【例1】 互不相等的三个数a、b、c成等差数列，又a，c，b恰成等比数列，求a：b：c的值.
【思路点拨】本题考查三个数成等差数列以及三个数成等比数列的相应等式，采用方法是，两个等式消去一个“元”，从而求得三个数的比. 【解】由题意得??2b?a?c22c?bc?2b?0，解之得c=b或c=－2b 消去a可得2?c?ab 当c=b时，a=b，故a:b:c=1:1:1，此时不合题意，舍去； 当c=－2b时，a=4b，故a:b:c=4:1:(－2)
[点评]这道题根据题意列出两个等式不难，主要是结合钥匙目标，求三个数的比，只有两个等式，不可能同时解出三个量的值，所以要用消元的方法。还要注意题意“互不相等”，舍去一种情形。
【举一反三】 一个三角形的内角A，B，C成等差数列，又A，C，B恰成等比数列，试判断此三角形的形状。
1
【答案】 等边三角形
【例2】 有四个数，前三个数成等比数列，它们的积为216，后三个数成等差数列，它们的和为12，求此四数.
【思路点拨】如果设四个未知数虽然也能解决，但运算较繁复。可借助于三个数成等比或者三个数成等差的的常见方法设未知数.
?a3?216a?【解法一】 依题意，设这四个数分别为，a，aq，b，则?a?b?2aq
q?a?aq?b?12?解得a=6，q=
2，b=2，从而得，这四个数分别为9，6，4，2. 3?ax(a?d)?216?2【解法二】 依题意，设这四个数分别为x，a?d，a，a?d，则?(a?d)?ax
?3a?12?解得x=9，a=4，d=－2，从而得，这四个数分别为9，6，4，2.
【点评】 由于未知数设的巧妙，从而减少了运算量.
【例3】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年，第二年，第三年分别比原计划产值多10万元，10万元，11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值。 【思路点拨】 原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S3=300，又由产值增长的百分率相同，可以知道，实际三年的产值成等比数列，分别列出两个等式解决问题.
【解】 设原计划三年的产值为x－d，x，x＋d，则实际三年产值为－d＋10，x＋10，x－
d＋11，
由题意得，??x?d?x?x?d?300,2?(x?d?10)(x?d?11)?(x?10)① ②由①得，x=100，代入②得d=10，故x－d=90，x＋d=110． 答：原计划三年的产值分别为90万元，100万元，110万元
【点评】 等差、等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差还是等比数列问题，分清an和Sn，抓住基本量a1，d(q)，再运用有关的概念和公式求解.
失分诊断 主要失分在于从实际应用问题出发的题，没有直接告知相应数据构成的是等
差还是等比数列，一旦搞错，那么整个题就无法正确解决（最容易混淆的是：每年比上一年增长
1，常有同学将此等比数列错判成等差数列）。其次，分清楚an和Sn。最后一点，10等比数列的前n项和公式要分成q=1和q≠1两种情况来表示，常有同学丢了q=1的特殊情
2
形，从而可能导致漏解。
【例1】 设Sn是等比数列{an}的前n项的和，S3,S9,S6成等差数列，
试求数列{an}的公式q的值.
a1(1?q9)a1(1?q6)a1(1?q3)【错解】 已知等式化为2? ??1?q1?q1?q3143
化简整理得2q?q?1，可解出q??或q=1，从而q??或q=1.
22633（也有到最后根据一开始得出的分式方程把q=1简单舍去的）
【错解分析】 本题考查等差数列(等差中项的应用及证明)和等比数列通项及求和公式的用法。容易出错的就是公比为1的情形的考虑，故上述解答的第一步就错了。请你在课时练中加以巩固和提高吧。
【正确答案】 已知条件化为等式2S9?S3?S6，
当q=1时，已知等式化为2?9a1?3a1?6a1，解得a1?0（不合题意）
a1(1?q9)a1(1?q6)a1(1?q3)故q≠1，已知等式化为2? ??1?q1?q1?q化简整理得2q?q?1
3143
可解出q??或q=1(舍去)，从而q??.
22363探究拓展 【例1】 这是一段程序伪代码：求程序运行后输入的结果.
【思路点拨】本题主要考查循环语句的理解，数列、不等式等基础知识，同时考查综合运用所学数学知识解决实际问题的能力。先要细读这段伪 x←1，y←1，z←0，n←0 代码表达的算法要求，从众多变量的有规律变化中找出 While z≤7000 最后输出的两个值的真正内涵，再解决求值问题. 【解】 设n=i时，x、y、z的值分别为xi、yi、zi， 由题意得，x0=1，xn=xn－1＋2，
所以{xn}是等差数列,且xn?2n?1 又y0=1，yn=2yn－1，
所以{yn}是等比数列，且yn?2n。
又z0=0，∴zn?zn?1?xnyn?x1y1?x2y2???xnyn 即zn=3?2?5?2???(2n?1)2 ① ∴2zn=3?2?5?2???(2n?1)2?(2n?1)2n23nn?12nx←x＋2 n←n＋1 y←2y z←z＋xy End While ②
n 由②－①得zn=－[3?2?5?2???2?2]?(2n?1)2?3?2 =(2n?1)2n?1?2
3
由已知得,程序终止时,zn>7000，zn?1≤7000，
?(2n?1)2n?1?2?7000即?，可求得n=8，z=7682。 n?(2n?3)2?2?7000故最后输出的结果是：8 7682
【点评】 这道题对阅读能力、用数学式子表达数学关系的能力、推理能力和建模能力都有较好的考查。破题的金钥匙，就是分别观察循环过程中独个变量会晤的变化规律，进而得出输入时两个量满足的条件.（这也同初中物理实验研究中的控制变量原理是想通的，请你仔细体会）
等差、等比数列综合 巩固练习 一、 选择题?
1、公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4
2、若等差数列{an}的首项为a1=1，等比数列{bn}，把这两个数列对应项相加所得的新数列{an+bn}的前三项为3，12，23，则{an}的公差与{bn}的公比之和为 ( ) A．-5 B．7 C．9 D．14
3、一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于． （ ） A．5 B．6 C．7 D．8
4、已知－9，a1，a2，－1这4个数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1 这5个数成等比数
列，则b2(a2－a1)等于 （ ）
9 A．8 B．－8 C．±8 D．
8二、填空题：
5、已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则
a1?a3?a9的值为______
a2?a4?a106、若数列?an?中，a1?3，且an?1?an2 (n?N*)，则数列的通项an? ． 7、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数依次为______________________ 三、解答题：
8、已知抛物线x?4y，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过点P1211的直线交抛物线于点P，再过作斜率为的直线交抛物线于点PP223，?，如241此继续，一般地，过点P作斜率为的直线交抛物线于点Pn?1，设点Pn(xn,yn)．令nn2作斜率为
4
bn?x2n?1?x2n?1，求证：数列{bn}是等比数列．
9、已知数列{an}是首项a1＞0，q＞－1且q≠0的等比数列，设数列{bn}的通项bn=an?1－kan?2 (n∈N)，数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．如果Tn＞kSn对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．
10、已知数列?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,?),a1?1，
⑴设数列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求证：数列?bn?是等比数列； ⑵设数列cn?
⑶求数列?an?的通项公式及前n项和。
an,(n?1,2,??)，求证：数列?cn?是等差数列； 2n等差、等比数列综合练习答案
双基答案 1、D 2、D 3、C 4、38，38，38或2，14，98 5、an?5?2n或an?2n?3 巩固练习答案 1、【答案】C
【分析】 由题意，a3?a2a6，即(a?2d)2?(a1?d)(a1?5d)，
∵d≠0，∴解得d=?2a1(?0)，故公比为
2、【答案】C
2a3?3a1??3 a2?a11?b1?3??【分析】 设公差为d，公比为q，则?1?d?b1q?12解得q=2，d=7
?1?2d?bq2?231?3、【答案】C
【分析】 依题意知，数列单调递减，公差d＜0．因为S3=S11=S3＋a4＋a5＋?＋a10＋a11
所以a4＋a5＋?＋a7＋a8＋?＋a10＋a11=0 即a4＋a11=?=a7＋a8=0，
故当n=7时，a7＞0，a8＜0．选择C． （说明）解选择题注意发挥合理推理和估值的作用． 4、【答案】B
【分析】 由题意，a2－a1=d=
2?1?(?9)8?， 332而b2??9?(?1)?9且b2??9q?0，故b2??3
5、【答案】
23 29 5