青岛市高三统一质量检测
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． B B C D B B C D B C C A
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.
1?3i 14. 2 15. 2 16．1 5三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
22222解：（Ⅰ）因为a?b?6abcosC,由余弦定理知a?b?c?2abcosC
c2所以cosC?…………………………………………………………2分
4ab22又因为sinC?2sinAsinB,则由正弦定理得:c?2ab……………4分
c22ab1?? 所以cosC?4ab4ab2所以C??3…………………………………………………………………6分
（Ⅱ）f(x)?sin(?x? 由已知
?6)?cos?x?33?sin?x?cos?x?3sin(?x?) 223??,??2,则f(A)?3sin(2A?), …………………8分
?3?2??????A,由于0?A?,0?B?,所以?A? 因为C?,B?332262 …………………………………………………10分 所以0?2A?2???3?2? 3根据正弦函数图象,所以0?f(A)?3…………………………………12分
高三数学（理科）试题 第6页（共14页）
18．（本小题满分12分）
解（Ⅰ） 证明：连接BC1，B1C?BC1?F
因为AE?EB，FB?FC1,所以EF∥AC1……………………………………2分 因为AC1?面EBC，EF?面EBC 11所以AC1∥面EBC………………………………4分 1（Ⅱ）作DH?AB，分别令DH,DC,DD1为
D1 zC1 A1 B1 F Dx轴，y轴，z轴,建立坐标系如图
因为?BAD?60?，AD?2，
C y AH 所以AH?1，DH?3 所以E(3,x EB 1,0)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B1(3,2,3)，…………………………6分 2?????????????135ED1?(?3,?,3),EB1?(0,,3),EC?(?3,,0)
222???????????设面EBC的法向量为n?(x,y,z),所以n?EB1?0，n?EC?0 1?3y?3z?0??531?2化简得?，令y?1，则n?(,1,?)………………………………10分
62??3x?5y?0??2????????????n?ED1930设??n,ED1，则cos??????? ???70n?ED1设直线ED1与面EBC所成角为?，则cos??cos(??90)??sin? 1?所以sin??
930930，则直线ED1与面EBC所成角的正弦值为 ……………12分 17070高三数学（理科）试题 第7页（共14页）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f1?x??x为奇函数；f2?x??5为偶函数；f3?x??2为偶函数；
3x2x?1?f4?x??x为奇函数；f5?x??sin(?x)为偶函数; f6?x??xcosx为奇函数
22?1 ………………………………………………3分 （注：每对两个得1分，该步评分采用去尾法）
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上
112写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为C3 C3?C32满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为C3
C321故所求概率为P?11 ………………………………………………6分 ?2C3C3?C34（Ⅱ）?可取1，2，3，4． …………………………………………………7分
111C3C3C313P(??1)?1?,P(??2)?1?1?，
C62C6C5101111111C3C3C3C3C2C2C131； P(??3)?1?1?1?,P(??4)?1?1?1?1?C6C5C420C6C5C4C320故?的分布列为
? P 1 2 3 4 1 2 3 103 201 20……………………………10分
13317?2??3??4??. 210202047??的数学期望为.……………………………………………………………12分
4E??1?
高三数学（理科）试题 第8页（共14页）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由a2a9?232与a4?a7?a2?a9?37
?a2?8?a2?29解得:?或?（由于an?1?an，舍去）
a?29a?8?9?9设公差为d，则??a1?5?a2?a1?d?8 ,解得?
?d?3?a9?a1?8d?29所以数列?an?的通项公式为an?3n?2(n?N?)……………………………………4分 （Ⅱ）由题意得:
bn?a2n?1?a2n?1?1?a2n?1?2???a2n?1?2n?1?1
?(3?2n?1?2)?(3?2n?1?5)?(3?2n?1?8)???[3?2n?1?(3?2n?1?1)]
?2n?1?3?2n?1?[2?5?8???(3?2n?1?4)?(3?2n?1?1)]…………………………6分
而2?5?8???(3?2n?1?4)?(3?2n?1?1)是首项为2,公差为3的等差数列的前2n?1项
n?1的和,所以2?5?8???(3?2?4)?(3?2n?1?1)
?2n?12n?1(2n?1?1)1?2??3?3?22n?3??2n
24484所以b?3?22n?2?3?22n?3?1?2n?9?22n?1?2n………………………………10分
n所以b?1?2n?9?22n
n48所以T?9(4?16?64???22n)?9?4(1?4)?3(4n?1)……………………12分
nn881?4221．（本小题满分12分）
2解：（Ⅰ）由已知：f?x??x，???x??x?tx,???x??3x?2tx?3x(x?3322t) 3由???x??0?x?0，或x??2t ………………………………………………1分 3高三数学（理科）试题 第9页（共14页）
2当t?0时，???x??3x?0，???x?在???,???为增函数，此时不存在极值；
………………………………………………………………2分 当t?0时，x变化时，???x?,??x?变化如下：
x (??,? 2t)32t? 30 极大 (? 2t,0)3- 0 (0,??) + ???x? ??x? + 0 极小 由上表可知：??x?极小???0??0……………………………………………………4分 当t?0时，x变化时，???x?,??x?变化如下：
x (??,0) + 0 0 极大 (0,? 2t)32t? 30 极小 (? 2t,??)3+ ???x? ??x? - 由上表可知：?(x)极小??(?2t43)?t………………………………………………6分 327（Ⅱ）h?x??3?x?sinx?h??x??3??cosx
设两切点分别为t1,h?t1?,t2,h?t2?，则h??t1?h??t2???1
即?3??cost1??3??cost2???1 ……………………………………………………8分
?????9?2?3?cost1?cost2????cost1cost2?1??0??????
???R，?方程???的判别式????3?cost1?cost2????36?cost1cost2?1??0
即?cost1?cost2??4,又?1?cost1?1,?1?cost2?1，??cost1?cost2??4
222高三数学（理科）试题 第10页（共14页）