当﹣1＜k＜3时，方程实根个数为4； 当k=3时，方程实根个数为3； 当k＞3时，方程实根个数为2．
【点评】本题主要考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值，二次函数、分段函数图象的画法，函数单调性的定义，以及根据图象写出函数的单调区间，数形结合讨论方程实根个数的方法，属于中档题．
19．（12分）（2015秋?长沙校级期中）．已知幂函数
关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数， （1）求函数f（x）的解析式；
0.70.6
（2）若a＞k，比较（lna）与（lna）的大小．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；有理数指数幂的化简求值． 【专题】函数的性质及应用．
的图象
【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N，求出k的值，写出函数的解析式．
x
（2）利用指数函数y=（lna）的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案．
【解答】解：（1）幂函数
所以，k﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3， 因为k∈N，所以k=1，2；且幂函数函数， ∴k=1，
函数的解析式为：f（x）=x． （2）由（1）知，a＞1．
0.70.6
①当1＜a＜e时，0＜lna＜1，（lna）＜（lna）；
0.70.6
②当a=e时，lna=1，（lna）=（lna）；
0.70.6
③当a＞e时，lna＞1，（lna）＞（lna）．
【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的大小比较，注意转化思想的应用．
﹣4
*
的图象关于y轴对称，
2
*
在区间（0，+∞）为减
20．（13分）（2015秋?长沙校级期中）若f（x）=x﹣x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a＞0且a≠1）．
（1）求a，b的值和f（x）的解析式
（2）求f（log2x）的最小值及相应x的值．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】函数的性质及应用．
2
【分析】（1）利用f（x）=x﹣x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2，列出方程求a，b的值和f（x）的解析式
（2）化简函数为二次函数，通过二次函数的最值求f（log2x）的最小值及相应x的值．
22
【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣x+b，∴f（log2a）=（log2a）﹣log2a+b=b， ∴log2a=1，∴a=2．
2
又∵log2f（a）=2，∴f（a）=4．∴a﹣a+b=4，∴b=2．
2
∴f（x）=x﹣x+2．…（4分）
（2）f（log2x）=（log2x）﹣log2x+2=（log2x﹣）+． ∴当log2x=，即x=
时，f（log2x）有最小值．…（8分）
2
2
2
【点评】本题考查函数的解析式的求法，二次函数的综合应用，考查计算能力．
21．（18分）（2010秋?温州校级期末）设a是实数，
．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）试证明：对于任意a，f（x）在R上为单调函数；
xxx
（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k?3）+f（3﹣9﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质． 【专题】数形结合；分类讨论；转化思想． 【分析】（1）函数f（x）为奇函数，故可得f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求a的值；
（2）证明于任意a，f（x）在R上为单调函数，由定义法证明即可，设x1，x2∈R，x1＜x2，研究f（x1）﹣f（x2）的符号，根据单调性的定义判断出结果．
xxx
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，由此可以将不等式f（k?3）+f（3﹣9﹣2）
xxx2xx
＜0对任意x∈R恒成立，转化为k?3＜﹣3+9+2即3﹣（1+k）3+2＞对任意x∈R恒成立，再通过换元进一步转化为二次不等式恒成立的问题即可解出此时的恒成立的条件．
【解答】解：（1）∵，且f（x）+f（﹣x）=0
∴，∴a=1（注：通过f（0）=0求也同样给分）
（2）证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，则
==
∵x1＜x2，∴
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即∴f（x1）＜f（x2） 所以f（x）在R上为增函数．
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，
xxx
由f（k?3）+f（3﹣9﹣2）＜0得
xxxxx
f（k?3）＜﹣f（3﹣9﹣2）=f（﹣3+9+2）
xxx2xx
∴k?3＜﹣3+9+2即3﹣（1+k）3+2＞对任意x∈R恒成立， 令t=3＞0，问题等价于t﹣（1+k）t+2＞0，其对称轴当
即k＜﹣1时，f（0）=2＞0，符合题意，
x
2
当即对任意t＞0，f（t）＞0恒成立，等价于解得﹣1≤k＜﹣
1+2
xxx
综上所述，当k＜﹣1+2时，不等式f（k?3）+f（3﹣9﹣2）＜0对任意x∈R恒成立． 【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性的定义以及函数单调性的定义，还有它们的判断证明过程，第三小问函数的单调性与奇偶性相结合的一个典型题，综合性强，变形灵活，由于其解题规律相对固定，故学习时掌握好它的解题脉络即可心轻松解决此类题，题后注意总结一下解题的过程以及其中蕴含的固定规律．