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*{a}(n?N)满足a1?a(a?0)，f(an?1)?g(an)，证明：存在常数M,使n （Ⅱ）设数列
得对于任意的n?N，都有
*an≤ M.
，且
3,?，而h(0?)h(x)?x?x?x知，x?[0?解析：（I）由
x)的一个零点，且h(x)在h(1?)??1h0?,?(2?)，则6x?02为h(0（1，2）内有零点，
因此h(x)至少有两个零点
13??1?1112h'(x)?3x?1?x2?'(x)?6x?x2?(x)?3x?1?x2242解法1：，记，则。
2当x?(0,??)时，?'(x)?0，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x)在(0,??)内至多
?(1)?0,?(只有一个零点。又因为
33)?0(,1)3，则?(x)在3内有零点，所以?(x)在
(0,??)内有且只有一个零点。记此零点为x1，则当x?(0,x1)时，?(x)??'(x1)?0；当
x?(x1,??)时，?(x)??'(x1)?0；
所以， 当当
x?(0,x1)时，h(x)单调递减，而h(0)?0，则h(x)在(0,x1]内无零点； x?(x1,??)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1,??)内至多只有一个零点；
从而h(x)在(0,??)内至多只有一个零点。综上所述，h(x)有且只有两个零点。
1?3?'(x)?2x?x2222解法2：h(x)?x(x?1?x)，记?(x)?x?1?x，则。
1?21?2当x?(0,??)时，?'(x)?0，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x)在(0,??)内至多只有一个零点。因此h(x)在(0,??)内也至多只有一个零点， 综上所述，h(x)有且只有两个零点。
x03?x0?x0xh(x)0（II）记的正零点为，即。
33a?a?a?x?x?xa?xa?aa?x11000，因此a2?x0，0时，由10.而2（1）当，即1www.canpoint.cn 010-58818067 58818068 全品高考网邮箱：canpoint@188.com
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由此猜测：
an?x0。下面用数学归纳法证明：[来源: ]
①当n?1时，
a1?x0显然成立；
a?x0成立，则当n?k?1时，由 ②假设当n?k(k?1)时，有kak?13?ak?ak?x0?x0?x03故对任意的n?N，（2）当
*知，
ak?1?x0，因此，当n?k?1时，ak?1?x0成立。
an?x0成立。
a?x0时，由（1）知，h(x)在(x0,??)上单调递增。则h(a)?h(x0)?0，即
33a3?a?a。从而a2?a1?a1?a?a?a，即a2?a，由此猜测：an?a。下面用
数学归纳法证明： ①当n?1时，
a1?a显然成立；
a?a成立，则当n?k?1时，由 ②假设当n?k(k?1)时，有kak?13?ak?ak?a?a?a3故对任意的n?N，综上所述，存在常数
*知，
ak?1?a，因此，当n?k?1时，ak?1?a成立。
an?a成立。
M?max{x0,a}，使得对于任意的n?N*，都有an?M.
100.（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【解】（1）根据题意有
32DCEFwww.canpoint.cn 010-58818067 58818068 全品高考网邮箱：canpoint@188.com
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AxxB
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S?602?4x2?(60?2x)2?240x?8x2??8(x?15)2?1800（0 所以x=15cm时包装盒侧面积S最大. V?(2x)2（2）根据题意有 'V所以，?62x(20?x), 2(60?2x)?22x2(30?x)(0?x?30)2， ??当0?x?20,时，V?0,V递增;当20?x?30时，V<0,V递减， 所以，当x=20时，V取极大值也是最大值. 2（60－2x）12?2. 2x此时，包装盒的高与底面边长的比值为13即x=20包装盒容积V（cm）最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为2 解析：本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用，中档题. 32f(x)?x?ax,g(x)?x?bx, f?(x)和g?(x)是101.（江苏19）已知a，b是实数，函数 f(x),g(x)的导函数，若f?(x)g?(x)?0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上 单调性一致. （1）设a?0，若函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致,求实数b的取值范围； （2）设a?0,且a?b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值. 322??f(x)?x?ax,g(x)?x?bx,?f(x)?3x?a,g?(x)?2x?b. 答案： 因为函数 f(x)和g(x)在区间[?1?,?上单调性一致，所以， ?x?[?1,??),f'(x)g'(x)?0, 22?x?[?1,??),（3x+a）(2x+b)?0,?a?0,3x?a?0??x?[?1,??),2x+b?0, 即 即??x?[?1,??),b??2x,?b?2;实数b的取值范围是[2,??) f?(x)?0,x???由 a3 第 38 页 共 61 页 www.canpoint.cn 010-58818067 58818068 全品高考网邮箱：canpoint@188.com 全品高考网 gk.canpoint.cn ??若b?0,则由a?0,0?(a,b),f(0)g(0)?ab?0,f(x)和g(x)在区间(a,b)上不是单调 性一致, 所以b?0. aax?(??,??),f?(x)?0;x?(??,0),f?(x)?0?x?(??,0),g?(x)?0;又33. aa111a???,b?????a?0,??b?0,|a?b|???33,333 所以要使f(x)g(x)?0,只有 111a??,b?0,f?(x)g?(x)?6x(x2?)x?(?,0)''f(x)g(x)?0,因此393取,当时, |a?b|max?13 当b?a时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（b,a）上单调性一致，所以， ?x?(b,a),f'(x)g'(x)?0, 即 ?x?(b,a),（3x2+a）(2x+b)?0,?b?a?0,??x?(b,a),2x?b?0， ??x?(b,a),a??3x2, ?b?a??3b2,设z?a?b，考虑点(b,a)的可行域，函数y??3x2的斜率为1的切线的切 点设为 (x0,y0) 11111?6x0?1,x0??,y0??,?zmax???(?)?6121266； 则 当a?b?0时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以， ?x?(a,b),f'(x)g'(x)?0, 即 ?x?(a,b),（3x2+a）(2x+b)?0,?b?0,??x?(a,b),2x?b?0， ??x?(a,b),a??3x2, 11?a??3a2,???a?0,?(b?a)max?;33 当a?0?b时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以， www.canpoint.cn 010-58818067 58818068 全品高考网邮箱：canpoint@188.com 第 39 页 共 61 页 全品高考网 gk.canpoint.cn ?x?(a,b),f'(x)g'(x)?0, 22?b?0,?x?(a,b),(2x+b)（3x+a）?0,（3x+a）(2x+b)=ab<0,不符合即而x=0时， 题意， 当 a?0?b时，由题意： ?x?(a,0),2x（3x2+a）?0,??x?(a,0),3x2+a?0,?3a2?a?0, 11???a?0,?b?a?33 综上可知， a?bmax?13。 解析：本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，综合考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.(1)中档题；（2）难题. 11f(x)??x3?x2?2ax32102.（江西理19）设. 2(,??)（1）若f(x)在3上存在单调递增区间，求a的取值范围； 16（2）当0?a?2时，f(x)在[1,4]上的最小值为3，求f(x)在该区间上的最大值. ?22(,??)(m,n)?(,??)3【解析】（1）f(x)在3上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使112f'(x)??x2?x?2a??(x?)2??2a[,??)'24得f(x)?0.由，f(x)在区间3上单 '2221f'()?0f'()??2a?0a??3399， 调递减，则只需即可。由解得 a??所以，当 12(,??)9时，f(x)在3上存在单调递增区间. 'f（2）令(x)?0，得两根 x1?1?1?8a1?1?8a1?1?8ax1?x2?222，，. 所以f(x)在(??,x1)，(x2,??)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增 www.canpoint.cn 010-58818067 58818068 全品高考网邮箱：canpoint@188.com 第 40 页 共 61 页