? 弧长计算公式：① s??ba1?y?2dx;
??x???t?? ??t???? ，s????2?t????2?t?dt; ②?y??t???????x?r???cos??22 ?????????s?r??r?????d?。 ③y?r?sin?，??????
向量代数
x1??x2y1??y2z1??z2, y?, z?? 定比分点公式：x?。
1??1??1??????b?abcos?， a?b?axbx?ayby?azbz。 ? 数量积： a???axbx?ayby?azbza?bcos???。 222abax?ay?az2bx2?by?bz2? 向量积：
??a?b?axbx?i?jayby?kazbz。
? 平面
?? 平面的一般方程：Ax?By?Cz?D?0（向量n??A,B,C?为平面法向
量）。
? 平面点法式方程：A?x?x0??B?y?y0??C?z?z0??0。
xyz? 平面的截距式方程：???1（a,b,c为平面在三个坐标轴上的截
abc距）。
? 两个平面的夹角：两个平面方程为：?1平面：A1x?B1y?C1z?D?0，
?2平面：A2x?B2y?C2z?D?0，则两平面的夹角?的余弦为：
cos??A1A2?B1B2?C1C2A?B?B212121222222A?B?B。
? 两平面平行的条件：
A1B1C1D1。 ???A2B2C2D2? 两平面垂直的条件： A1A2?B1B2?C1C2?0。
? 点到平面的距离：平面：Ax?By?Cz?D?0，平面外一点：M?x1,y1,z1?，则点M到平面的距离：d?? 空间直线
?A1x?B1y?C1z?D?0? 两个平面的交线：?。
Ax?By?Cz?D?0?222Ax1?By1?Cz1?DABC222。
??? 点向式方程：直线上的一点M0?x0,y0,z0?，直线的一个向量S??m,n,p?，
?x?x0?mtx?x0y?y0z?z0???则直线方程为：，参数方程为：?y?y0?nt mnp?z?z?pt0?? 两直线的夹角：L1:x?x01y?y01z?z01x?x02y?y02z?z02，L2:，则????m1n1p1m2n2p2m1m2?n1n2?p1p2m?n?p212121两直线的夹角余弦为：cos??两直线平行：
m?n?p222222。
m1n1p1??， m2n2p2两直线垂直：m1m2?n1n2?p1p2?0， ? 两直线共面（平行或相交）：
x?x01y?y01z?z01?L:x2?x1?1m?n?p111两直线：?，共面的条件：m1??L:x?x02?y?y02?z?z02m22?mnp?222y2?y1n1n2z2?z1p1p2?0。
? 直线与平面的夹角
平面： ?:Ax?By?Cz?D?0，直线：L:①若直线与平面相交，夹角：sin??x?x0y?y0z?z0 ??mnpAm?Bn?CpA?B?C222m?n?p222；
②若直线与平面平行：Am?Bn?Cp?0； ③若直线与平面垂直：
? 多元函数微积分
ABC??。 mnp?f?f?f?cos??sin? （?为x轴到方向l的转角） 1.方向导数：
?l?x?y?f??f??f?i?j?k 2.梯度： grad f?x,y,z???x?y?z3.二元函数的极值：z?f?x,y?，fx?x0,y0??0，fy?x0,y0??0。令fxx?x0,y0??A，
fxy?x0,y0??B，fyy?x0,y0??C。①当AC?B2?0时具有极值，且当A?0时具有
极大值，当A?0具有极小值；②当AC?B2?0时没有极值；③当AC?B2?0时可能有极值，也可能没有极值，还需令作讨论。
3.二重积分的计算??f?x,y?d???adx??1?x?f?x,y?dy??cdy??1?y?f?x,y?dx
Db?2?x?d?2?y???f?x,y?d????f?rcos?,rsin??rdrd?
DD??f?rcos?,rsin??rdrd????D???2???f?rcos?,rsin??rdr?d??????1?????2????1??? ??d????f?rcos?,rsin??rdr
4.曲面的面积计算：
??z???z?A???1?fx2?x,y??fy2?x,y?d????1??????dxdy
??x???y?DDM平面薄片的重心： x?M?22??x??x,y?d?DDM, y??M????x,y?d???y??x,y?d?D
?x,yd?????D22I?y?x,yd?, I?x??平面薄片的转动惯量： x??y????x,y?d?
DD5.三重积分的计算：
???f?x,y,z?dv??Dbadx?y2?x?y1?x?dy?z2?x,y?z1?x,y?f?x,y,z?dz
? 曲线积分和曲面积分 1.对弧长的曲线积分： ???x???t? ???t??? y??t?????L22??f?x,y?ds??f??t,?t?t??????????t?dt ???222???f?x,y,z?ds??f??t,?t,?t?t??t??????????????t?dt ????????2.对坐标的曲线积分： x???t?, y???t?
LP?x,y?dx?Q?x,y?dy?????P????t?,??t??????t??Q????t?,??t??????t??dt
223.对曲面的积分：
???22f?x,y,z?dS???f?x,y,zx,y1?zx,y?z?????xy?x,y?dxdy ??Dxy4.对坐标的曲面积分：
? 无穷级数
? 收敛级数的基本性质：
1.如果级数?un收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数
n?1??kun?1?n也收敛，且其和为ks。
??2.如果级数s、?vn分别收敛于和s、?，则级数??un?vn?也收敛，且其和
n?1n?1为s??。
3.在级数中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。 4.如果级数?un收敛，则对这级数的项任意加括号所成的级数
n?1??u???u???u1n1n1?1???un2???un2?1???unk??仍收敛，且其和不变。
????5.（级数收敛的必要条件）如果级数?un收敛，则它的一般项趋于零，即
n?1limun?0。
n??