? 常数项级数的审敛法：
定理1.正项级数?un收敛的充分必要条件是：它的部分和数列?sn?有界。
n?1?定理2（比较审敛法）.设?un和?vn都是正项级数，且un?vn?n?1,2,??。
n?1n?1??若级数?vn收敛，则级数?un收敛；反之，若级数?un发散，则级数?vn发
n?1n?1n?1n?1????散。
推论1.设?un和?vn都是正项级数，如果级数?vn收敛，且存在自然数N，
n?1n?1n?1???使当n?N时有un?kvn?k?0?成立，则级数?un收敛；如果级数?un发散，
n?1?n?1??且当n?N时有un?kvn?k?0?成立，则级数?vn发散。
n?1?1推论2. 设?un为正项级数，如果有p?1，使un?p?n?1,2,??，则级数?unnn?1n?1?1收敛；如果un??n?1,2,??，则级数?un发散。
nn?1???定理3（比较审敛法的极限形式）. 设?un和?vn都是正项级数，如果
n?1n?1??unlim?l ?0?l????，则级数?un和级数?vn同时收敛或同时发散。 n??vn?1n?1n?定理4（比值审敛法，达朗贝尔（D’Alembert）判别法）.若正项级数?un的
n?1lim后项于前项之比值的极限等于?：n??limun?1??1??，则当??1时级数收敛；（或
unun?1??）时级数发散；??1时级数可能收敛也可能发散。 n??un定理5（根值审敛法，柯西判别法）. 设?un为正项级数，如果它的一般
n?1nu??，则当??1时级数收敛；??1（或项un的n次根的极限等于?：limnn???limnun??）时级数发散；??1时级数可能收敛也可能发散。
n??定理6（莱布尼茨定理）.如果交错级数???1?un满足条件：（1）
n?1?n?1（2）limun?0，则级数收敛，且其和s?u1，其余项rn的un?un?1 ?n?1,2,3??，
n??绝对值rn?un?1。
定理7.如果级数?un绝对收敛，则级数?un必定收敛。
n?1n?1??? 幂级数
定理1（阿贝尔（Abel）定理）.如果级数?axn当x?x0?x0?0?时收敛，则
n?1?适合不等式x?x0的一切x使这幂级数绝对收敛；反之，如果级数?axn当
n?1?x?x0时发散，则适合不等式x?x0的一切x使这幂级数发散。
推论：如果幂级数?axn不是仅在x?0一点收敛，也不是在整个数轴上都收
n?1?敛，则必有一个完全确定的正数R存在，使得：当x?R时，幂级数绝对收敛；当x?R时，幂级数发散；当x?R与x??R时，幂级数可能收敛也可能发散。
?an?1定理2.如果lim??，其中an?1、an是幂级数?axn的相邻两项的系数，
n??an?1n?1 ???0???则这幂级数的收敛半径R????? ???0?
?0 ????????性质1. 设幂级数?axn的收敛半径R?R?0?，则其和函数s?x?在区间??R,R?n?1?内连续。如果幂级数在x?R（或x??R）也收敛，则和函数s?x?在??R,R?（或
??R,R?）连续。
性质2.设幂级数?axn的收敛半径R?R?0?，则其和函数s?x?在区间??R,R?内
n?1??????n?n?是可导的，且有逐项求导公式s??x????anx????anx???nanxn?1，其中
n?1?n?1?n?1x?R，逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
性质3.设幂级数?axn的收敛半径R?R?0?，则其和函数s?x?在区间??R,R?内
n?1?是可积的，且有逐项积分公式?0s?x?dx??0xx??xann?1??n?naxdx?axdx?x,????n??0nn?1n?1n?1?n?1?其中x?R，逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 ?
? 傅立叶级数
ixe?cosx?isinx 欧拉公式：
??cosnxdx?0 ?n=1,2,3,?? ??sinnxdx?0 ?n=1,2,3,??
??????sinkxcosnxdx?0 ?n=1,2,3,??
????sinkxsinnxdx?0 ?n=1,2,3,?,k?n?
????coskxcosnxdx?0 ?n=1,2,3,?,k?n?
??
? 函数展开成傅里叶级数 （f?x?是周期为2?的周期函数）
a0?f?x?????akcoskx?bksinkx?
2k?11???a0?????f?x?dx?1???an????f?x?cosnxdx ?n=0,1,2,??其中：? ?1???bn?????f?x?sinnxdx ?n=1,2,3,???定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）：设f?x?是周期为2?的周期函数，如果它满足：
（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， （2）在一个周期内至多只有有限个极值点， 则f?x?的傅里叶级数收敛，并且：
当x是f?x?的连续点时，级数收敛于f?x?；
1f?x?0??f?x?0??当x是f?x?的间断点时，级数收敛于???。 2定理. 设f?x?是周期为2?的函数，在一个周期上可积，则 （1）当f?x?为奇函数时，它的傅里叶系数为：
?an?0 ?n=0,1,2,3,????2? b?fxsinnxdx n=1,2,3,??????n??0?（2）当f?x?为偶函数时，它的傅里叶系数为：
2???an??0f?x?cosnxdx ?n=0,1,2,3,???? ?bn?0 ?n=1,2,3,???? 周期为2l的周期函数的傅里叶级数
定理：设周期为2l的周期函数f?x?满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级
a0?数展开式为：f?x?????akcoskx?bksinkx?
2k?11ln?x?a?fxcosdx ?n=0,1,2,????n???l?ll其中系数an,bn为：?
?b?1lf?x?sinn?xdx ?n=1,2,3,??n?l??ll?n?x??当f?x?为奇函数时，f?x????bnsin?
l??n?1?2ln?xb?fxsindx ?n=1,2,3,?? ?? 其中系数bn为：n?0lla0??n?x?当f?x?为偶函数时，f?x?????ancos?
2n?1?l?2ln?xa?fxcosdx ?n=0,1,2,?? ??其中系数an为：n?0ll
? 微分方程：
dy?y???? 齐次方程： ?? dx?x?u?ydydu?y?ux??u?xxdxdxdydududx ?y????????u??u?x???u???dxdx??u??ux?x??