第一讲不等式的解法
一元二次不等式的解法及高次不等式的解法
一：知识梳理
1.因式分解：把一个多项式化成几个整式相乘的形式叫做因式分解
2.分解因式常用的办法：①提公因式法②公式法③分组分解法④十字相乘法⑤添项，拆项等 典型例题
【例1】把下列各式分解因式
①x2?3x+2②x3?1 ③a2?2ab?b2?c2 ④x3?2x2y?xy2?x
【变式训练】
1①2x2?5x?2②a3?b3 ③x2?(a?)xy?y2
a3．一元二次不等式的概念
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的的不等式，称为一元二次不等式．
(2)一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式 或 (其中a≠0)． （3）．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
Δ＝b2－4ac y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 一元二次不等式的解法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【例2】求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.
【变式训练】解下列不等式
1
(1)2x2－x＋6>0；(2)－x2＋3x－5>0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.
2
解题步骤
【例3】已知不等式ax2?bx?c?0的解为x?2,或者x??1,求不等式cx2?bx?a?0的解
【变式训练】已知函数f(x)?ax2?bx?c，当?1?x?2时f(x)?0，当x??1或者x?2时f(x)?0求不等
式cx2?bx?a?0的解
3.分式不等式的解法
（1）化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为（2）将分式不等式转化为整式不等式求解如：
f(x)的形式 g(x)f(x)f(x)?0?f(x)g(x)?0?0?g(x)g(x)典型例题
【例3】解不等式 ①
?f(x)g(x)?0f(x)f(x)?ag(x)?a??0 ?g(x)g(x)g(x)?0?x?3x?311x?31?2x?0. ②?0 ③?1④?0⑤? x?7x?7x?7x2x?1
【变式训练】解下列不等式 (1)
解题步骤：
4.高次不等式的解法：
高次不等式：形如(x?x1)(x?x2)(x?x3)?(x?xn)?0(?0)的不等式叫做高次不等式
解题步骤：①将不等式化为(x?x1)(x?x2)(x?x3)?(x?xn)?0(?0)形式，并将各因式x的系数化“+”；
②求方程(x?x1)(x?x2)(x?x3)?(x?xn)?0各根，并在数轴上表示出来（从小根到大根按从左至右方向表示）。
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”
2x－12－xx－3x＋12x＋1
≥0；(2)>1. (3)<0；(4)≤1；(5)<0. 3x＋1x＋3x＋22x－31－x
- x1 + x2 - x3 + xn-1 - xn + 典型例题 【例4】解下列高次不等式
x2?3x?2?0. （1）(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)>0 （2）(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)>0（3）2x?2x?3
【变式训练】
5.一元二次不等式恒成立问题与存在性问题
f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数
若f(x)>0恒成立，则：若f(x)<0恒成立，则 若f(x)>m恒成立，则： 若f(x) (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围． (2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 【例6】解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0. 【变式训练】当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为全体实数. 家庭作业（一） 1.不等式2x－x－1>0的解集是( ) 1??1?? A.?－2，1? B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.?－∞，－2?∪(1，＋∞) ????2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7 3.不等式x2＋x－2＜0的解________． 4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为全体实数，求实数a的取值范围________． 5．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( ) A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1 6.若0 ???1A.?x?t??? 2 ? ? 1?? ?? ?? ???1B.?x?x>t??? ?????1 或x ????? ?? 或x>t? ?? ???1D.?x?t ?? ? ?? x2－2x－2 7.不等式2<2的解集为( ) x＋x＋1 A．{x|x≠－2} B．全体实数C．? D．{x|x<－2或x>2} 8.不等式－1 9.若关于x的不等式x2－3x＋t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}，则t＋m＝________. 能力提升题组（一） 1.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解为全体实数，则实数m的取值范围是( ) A．(－2,2) B．(－2,2]C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2) 2.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________． 3.若不等式ax＋bx＋c≥0 4.解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0. 2 ??1?的解集为x|－3≤x≤2?，求关于?? x的不等式cx2－bx＋a<0的解集． 第二讲一元二次方程中的根的分布问题 一：设一元二次方程f(x)?ax2?bx?c?0(a?0)，其中??b2?4ac，如果方程有实根，设为x1,x2，则： 1． 若方程两根同号?????0； 2.若方程两根异号?x1x2?0； ?x1x2?0 ???0???0??3.若方程两根为正??x1?x2?0； 4.若方程两根为负??x1?x2?0； ?xx?0?xx?0?12?125.若方程两根异号，且正根的绝对值较大??来源学&科&网Z&X&X&K]?x1?x2?0； ?x1x2?0?x1?x2?0； xx?0?126.若方程两根异号，且负根的绝对值较大??7.若方程只有一个正根?x1x2?0，或??x1?x2?0； ?x1x2?0?x1?x2?0； ?x1x2?08.若方程只有一个负根?x1x2?0，或????0?9.若方程实根中没有正根??x1?x2?0； ?xx?0?12???0?10．若方程实根中没有负根??x1?x2?0； ?xx?0?12???0?x?x?211．若方程两根都比m大??1?m； ?2??af(m)?0???0?x?x?212．若方程两根都比m小??1?m； ?2??af(m)?013．若方程的一个根小于m且另一个大于m?af(m)?0；14．若方程在区间(m,n)内只有一个实根?f(m)f(n)?0 来源:Zxxk.Com] 典型例题 22【例1】当实数a取何值时，方程x?ax?a?3?0 （1）两根同号？（2）两根异号？