六：列举法与描述法的综合运用
例6 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
跟踪演练6 把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合．
跟踪演练7下面三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． 问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？ 当堂检测：
1．集合{x∈N*|x－3＜2}用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1, 2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 2．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有( )
A．－1∈A B．0∈AC．3∈A D．2∈A 3．用描述法表示方程x＜－x－3的解集为________．
4．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________． 5．用适当的方法表示下列集合． (1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x－2＞6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
总结
1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合． 2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？ (2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能
被表面的字母形式所迷惑．
家庭作业：
一、基础达标
1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是( ) A．2 B．3 C．4
D．5
2.(2014·长沙高一检测)若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是 A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．下列关系式中，正确的是( )
A．{2,3}≠{3,2}B．{(a，b)}＝{(b，a)}C．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}D．{y|y＝x2＋1}＝{x|y＝x＋1} ?x＋y＝2，4.方程组?的解集是( )
?x－2y＝－1A．{x＝1，y＝1} B．{1} C．{(1,1)} D．(1,1)
5.集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B 6.已知x，y为非零实数，则集合
?xyM＝?m|m＝|x|＋|y|
?
xy?
＋|xy|?为( )
?
A．{0,3} B．{1,3} C．{－1,3} D．{1，－3}
7.如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．
C]b
8.设a，b∈R，集合A中有三个元素1，a＋b，a，集合B中含有三个元素0，a，b，且A＝B，则a
＋b＝________. 能力提升题组
9.设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则
1
∈A(a≠1)． 1－a
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集．
10.已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}： (1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
第四讲：集合间的基本关系
[知识链接]
1．已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的大小关系是a＝b. 2．若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？x≥1时呢？ 3．方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？ 知识点梳理 1．Venn图
(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
(2)适用范围：元素个数较少的集合． (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部． 2．子集的概念
文字语言 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集 3.集合相等与真子集的概念 定义 符号表示 A＝B A?B(或B?A) 图形表示 符号语言 A?B(或B?A) 图形语言 集合相等 如果A?B且B?A，就说集合A与B相等 真子集 4.空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集． (2)用符号表示为：?. (3)规定：空集是任何集合的子集． 5．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A. (2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C. 典型例题：
一：有限集子集确定问题
例1：写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，称集合A是B的真子集 跟踪演练1 已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数
规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 二、集合间关系的判定
例2 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
跟踪演练2 集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合A和B的关系．
三、由集合间的关系求参数范围问题
例3已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.求实数m的取值范围．
跟踪演练3 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若A?B，求a的取值范围； (2)若B?A，求a的取值范围．
规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．
2．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
当堂检测
1．集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为( )
A．4 B．7 C．8 D．16
2．设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是( )
A．{0}?M B．{0}∈MC．?∈M D．0?M
3．已知M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是( )
4．已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________. 5．已知??{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________． 1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A. 2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． 易错点梳理：
①以正确区分各种符号的含义
②元素与集合、集合与集合之间的关系
家庭作业：
1．下列命题中，正确的有( )
①空集是任何集合的真子集；②若A?B，B?C，则A?C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A?B.