重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）
R?s?K s?s?2?Y?s?
图2.6 系统等价框图
由图2.6得到系统频域模型： 闭环传递函数为
Gc?s??闭环特征方程为
G0?s?K（2-2） ?21?G0?s?s?2s?KD?s??s2?2s?K?0（2-3）
- 9 -
重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）
第三章 系统分析
本文研究的系统是一个二阶系统，在自动控制系统分析中二阶系统的性能分析有很重要的地位。标准化的二阶系统的结构图如图3.1所示。为了研究讨论二阶系统的一般问题，一般将具体的系统等价为图示的标准形式。
二阶系统的开环传递函数为
R?s?2G0?s??闭环传递函数为
s?s?2??n??n （3-1）
C?s? ?n2s?s?2??n??n2 （3-2） 图3.1 标准化的二阶系统结构图 Gc?s??22s?2??ns??n闭环传递函数的分母多项式等于零的代数方程称为二阶系统的闭环特征方程，即
s2?2??ns??n2?0（3-3）
闭环特征方程的两个根称为二阶系统的特征根，即
s1,2????n??n?2?1（3-4）
上述的二阶系统中有两个特征参数?和?n，其中?代表二阶系统的阻尼比，?n二阶系统的无阻尼振荡频率（rad/s）。
二阶系统的系统分析和性能描述，基本上是以这两个特征参数来表示。在二阶系统中，随着阻尼比?的不同取值，特征根有不同的值，即特征根在s平面上位于不同的位置，他一共有五种情况。
??1时，系统的响应表现为过阻尼，特征根全部位于s平面的负实轴上，是一对不相等的负实根。
??1时，系统的响应表现为临界阻尼，特征根全部位于s平面的负实轴上，是一对相等的负实根。
0???1时，系统的响应表现为欠阻尼，特征根全部位于s平面的左半平面上，是一
- 10 -
重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）
对带有负实部的共轭复数根。
??0时，系统的响应表现为无阻尼，特征根均位于s平面的虚轴上，是一对纯虚根。
??0时，系统响应是发散的，特征根都位于s平面的右半平面上。
第一节 稳定性分析
系统的稳定性分析可以用代数稳定性判据和频域稳定性判据这两种判据，这两种判别方法不同。频域稳定判据又被称为Nyquist稳定性判据，它主要是通过系统的开环频率特性来获得闭环系统稳定的判别。它不仅可以确定系统的绝对稳定性，而且还可以提供相对稳定性的信息。而基于控制系统的闭环特征方程的判别方法，我们称之为代数稳定性判据。这种方法基本上提供的是控制系统绝对稳定性的信息，而对于系统相对稳定性信息提供较少。所以频域稳定性判据可以方便的用于控制系统的设计与综合。两种稳定性的判别方法虽然是在不同的域中进行的，但是对于控制系统的稳定性分析来说是等价的。
一、Nyquist稳定判据
闭环系统稳定的充分必要条件是，GH平面上的开环频率特性G?j??H?j??当?由??变化到??时，按逆时针方向包围??1,j0?点P周。
当开环极点没有在S平面右半部时，即当系统的开环传递函数的全部极点均位于S平面左半部（包括原点和虚轴）时，奈氏曲线?GH不包围GH平面的??1,j0?点即是闭环系统稳定的充分必要条件。
综上所述，应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：
①当系统开环传递函数G?s?H?s?的全部极点都位于S平面左半部时?P?0?，如果系统的奈氏曲线?GH不包围GH平面的??1,j0?点?N?0?，则闭环系统是稳定的
?Z?P?N?0?，否则是不稳定的；
②当系统开环传递函数G?s?H?s?有P个位于S平面右半部的极点时，如果?GH逆时针
- 11 -
重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）
包围??1,j0?点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数?N?P?，则闭环系统是稳定的
?Z?P?N?0?，否则是不稳定的；
③如果?GH顺时针包围??1,j0??N?0?，则闭环系统不稳定。?Z?P?N?0?。 从上面的分析可知，奈氏曲线?GH是否包围GH平面的??1,j0?点是判别系统是否稳定的重要依据（当然还需考虑系统是否存在开环极点和?GH曲线包围??1,j0?点的方向）。在有些情况下，?GH曲线恰好通过GH平面的??1,j0?点，此时如果系统无位于S平面的右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。
二、劳斯稳定判据
劳斯判据应用说明：已知线性定常系统的特征方程为
D?s??ansn?an?1sn?1??a1s?a0?0（3-5）
首先做劳斯表，将方程的各系数间隔填入前两行，如表3.1所示。
表3.1 劳斯表
sn sn?1 sn?2
an an?1 b1 c1 d1
an?2 an?3 b2 c2 d2
an?4 an?5 b3 c3 d3
an?6 an?7 b4 c4 d4
sn?3 sn?4
s2
e1 f1 g1
e2
s1 s0
- 12 -
重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）
依照下列各式计算出其余的项：
?b1?anan?2aan?4?nan?1an?3an?1an?5,b2?,an?1an?1（3-6）
an?1an?5an?1an?3??b1b3b1b2c1?,c2?,b1b1b1b3b1b2??c1c3c1c2d1?,d2?,c1c1（3-7）
（3-8）
将计算各项依照上述法则全部计算完毕，填入劳斯表。计算完毕的劳斯表呈上三角形，系统稳定的充分必要条件为：
劳斯表中，
①如果第一列元素全部大于零，系统就是稳定的；否则系统是不稳定的。 ②如果第一列元素有零值出现，可以用一个很小的正数?代替，继续完成计算。 ③如果第一列元素除了出现零值外，其余各项全部大于零，则说明系统有临界稳定的特征根，系统也是不稳定的。
④劳斯阵列的第一列系数改变符号的次数，即不稳定根的个数，也表示右极点的个数。 ⑤劳斯阵列出现零行，则存在大小相等、方向相反的根。计算时可由零行前一行做辅助多项式，然后由其导数的系数行代替零行，完成劳斯表计算。
研究的系统的闭环特征方程为
s2?2s?K?0
做劳斯表如下：
s2s1s012KK0
根据劳斯判据的，系统稳定的充分必要条件是第一列数据要全部大于零，所以K?0。 由系统参数可知，由于Rf??10?1R0由此可以得出?10?1?K?104?
- 13 -
104R0?，且Rf?KR0