参考答案
第3章 导数及其运用
§3.1导数概念及其几何意义
?y(x??x)x?y??1lim?x经典例题：解：∵y=|x|，∴x>0时，y=x，则?x∴?x?0?x=1．
?y?y?(x??x)?(?x)??1???1lim?x?0?x?x?x当x<0时，y=－x，，∴．
x?0?1 ?-1 x?0 ．
∴y′=?
当堂练习：
41.C; 2.D; 3.C; 4.A; 5.A; 6.B; 7.B; 8.B; 9.C; 10.B; 11.常数函数; 12.arctan3; 13.(a+b)f′(x);
14. 10 m/s;
?s15. 分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，?t即平均速度，当Δt越小，求出?s的?t越接近某时刻的速度．
?ss(t??t)?s(t)2(t??t)2?3?(2t2?3)???t?t解：∵?t=4t+2Δt ?s∴(1)当t=2，Δt=0.01时，?t=4×2+2×0.01=8.02 cm/s ?s(2)当t=2，Δt=0.001时，?t=4×2+2×0.001=8.002 cm/s ?s?lim?t?0?t?t?0(3)v=(4t+2Δt)=4t=4×2=8 cm/s．
limf(1??x)?f(1)2(1??x)2?2?12lim?lim?x?0?x?0?x?x16. 解：(1)k=
4?x?2(?x)2?lim?lim(4?2?x)?4?x?0?x?0?x．∴点A处的切线的斜率为4．
(2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－2
f(0??x)?f(0)(?x)2??xlim?lim?lim??x?0?x?0??x?x17. 解：==x?0 (Δx+1)=1
?x?0lim?b?1f(0??x)?f(0)a?x?b?1?a?lim?lim??x?0?x ?x?x=?x?0若b≠1,则?x?0lim?f(0??x)?f(0)?x不存在
∴b=1且a=1时，才有f(x)在x=0处可导
∴a=1,b=1．
(x?2)(x?3)???(x?n)f(x)?f(1)limlim(x?1)(x?2)???(x?n)x?1x?118．解：f′(1)= = x?1 (1?2)(1?3)???(1?n)(?1)n?1=(1?1)(1?2)???(1?n)=n(n?1)．
§3.2导数的运算
1?x2?2x21?x2π?22(1?x2)2, y'|x=0=1,∴tanθ=1,θ=4为所求倾斜角. 经典例题：解:∵y'=(1?x)
当堂练习：
1.C; 2.C; 3.A; 4.D; 5.D; 6.D; 7.D; 8.B; 9.C; 10.C; 11. y=1; 12. 2sinx+xcosx; 13. cosx－
sinx?xcosx?sin2x?cos2xsin2xsin2xxsinx+;14. ;
k1?k2121?k1k2|=109,
15. 解:∵y'=6x2－6x+6,∴y'|x=1=6, y'|x=－1=18. 设夹角为α, 则tanα=|
12∴α=arctan109.
16. 解:∵f（x）=x3－x2,∴f'（x0）=3x02－2x0. 由f'（x0）=f（x0）,得3x02－2x0=x03－x02, 即x03－4x02+2x0=0. 所以x0=0或x0=2±2.
?6x(1?2x)?(2?3x2)?2?6x?6x2?4162?3x222(1?2x)(1?2x)1?2x17. 解:∵y'=（）'==,∴y'|x=1=－9.
218. 解:∵y=1?x?442(1?x)2(1?x)?21?x=1?x1?x=1?x, ∴y'=(1?x).
2
§3.3导数在研究函数中的应用
2??f(x)?6x?a, g?(x)?2bx. 经典例题：解：(1)
由题意得:
?f?(2)?g?(2),?24?a?4b,?a??8,????f(2)?0,??16?2a?0,??b?4,?g(2)?0,?4b?c?0,?c??16.???
3232f(x)?2x?8x, g(x)?4x?16?F(x)?2x?4x?8x?16 (2) 由(1)得
?F?(x)?6x?8x?8．由6x?8x?8?0,得:x??2或
22x?2．3
22(?2, )(??, ?2), (, ??)?F(x)的递增区间是3. 3; ?F(x)的递减区间是
当堂练习：
81.D; 2.B; 3.D; 4.B; 5.C; 6.A; 7.C; 8.C; 9.D; 10.C; 11. 3; 12. y?4x?1; 13.
4x?4y?7?0;14.-3;
2?f(x)??3x?6x?9.令f?(x)?0?x??1或x?3, 15. 解: (1)
所以函数f(x)的单调递减区间为(??, ?1), (3, ??).
(2) 因为f(?2)?8?12?18?a?2?a, f(2)??8?12?18?a?22?a,
?所以f(2)?f(?2). 因为在(?1, 3)上f(x)?0, 所以f(x)在[?1, 2]上单调递增, 又由于 f(x)在[?2, ?1]上单调递减, 因此f(2)和f(?1)分别是f(x)在区间[?2, 2]上的最大值
和
32f(x)??x?3x?9x?2, 22?a?20?a??2最小值, 于是有. 故
因此f(?1)?1?3?9?2??7, 即函数f(x)在区间[?2, 2]上的最小值为?7. 16. 解: (1) 由f(x)的图象经过P(0,2),知d?2, 所以f(x)?x?bx?cx?2,
32f?(x)?3x2?2bx?c.即f(?1)?1,f?(?1)?6.
由在M(?1,f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0, 知
?3?2b?c?6?b??3?????6?f(?1)?7?0,??1?b?c?2?1?c??3
32f(x)?x?3x?3x?2. 故所求的解析式是
2?(2) f(x)?3x?6x?3.令3x?6x?3?0,即x?2x?1?0.
22?解得 x1?1?2,x2?1?2. 当x?1?2,或x?1?2时,f(x)?0; ?当1?2?x?1?2时,f(x)?0.
32f(x)?x?3x?3x?2在(??,?2)内是增函数, 在(1?2,1?2)内是减函数, 故
在(1?2,??)内是增函数.
2?y?3ax?2bx 17. 解: (1)
?3a?2b?0?a??6?????y??6x3?9x2?b?9?当x?1时, y的极值为3.?a?b?3.
2?y??18x?18x?0?0?x?1 (2) 令
2?y??18x?18x?0?x?1或x?0 令
?y在(0, 1)上为单调增函数;
y在(??, 0),(1, ??)上为单调减函数.
??18. 解: f(x)?3x?x?2,令f(x)?0,得
x??∵当
2x??23或x?1.
22(??, ?)3或x?1时, f?(x)?0,∴y?f(x)在3和(1, ??)上为增函数,
22(?, 1)x??3处有极大值, 在x?1处有极小值. 在3上为减函数, ∴f(x)在
222f(?)?5327, 而f(2)?7, ∴f(x)在[?1, 2]上的最大值为7. 极大值为
若对于任意x?[?1, 2]都有f(x)?m成立, 得m的范围 m?7.
§3.4生活中的优化问题
经典例题： 分析 本题考查导数的应用及利用导数知识解决实际问题的能力. 解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是
r2y=f(r)=0.2×3πr3-0.8πr2=0.8π(3-r2),0 令f′(r)=0.8π(r2-2r)=0. 当r=2时,f′(r)=0; 当r∈(0,2)时,f′(r)<0; 当r∈(2,6)时,f′(r)>0. 因此,当半径r>2时,f′(r)>0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;半径r<2时,f′(r)<0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低. (1)半径为6 cm时,利润最大. (2)半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值. 当堂练习： 4131.A; 2.A; 3.C; 4.C; 5.A; 6.D; 7.A; 8.A; 9.B; 10.D; 11. 7; 12. (2,+∞); 13. (0,3);14. 11; b15. 解 ∵函数y=ax与y=-x在区间（0，+∞)上是减函数， ∴a<0,b<0. 由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx. ?令y′>0，即3ax2+2bx>0,∴ 2b3a 2b因此当x∈(3a,0)时，函数为增函数; ?令y′<0,即3ax2+2bx<0, ?∴x< 2b3a或x>0. ?2b因此当x∈(-∞,3a)时，函数为减函数; x∈(0,+∞)时，函数也为减函数. ? 16. 分析 本题考查导数的几何意义及利用导数知识解决实际问题的能力. 解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000, b′(t)|t=5=-2 000×5+10 000=0, b′(t)|t=10=-2 000×10+10 000=-10 000, 即细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000. (2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,