第一章参考答案
1.1请用列举法给出下列集合。
⑴ 你知道的各种颜色。
解：{红，橙，黄，绿，青，蓝，紫} ⑵ 大学教师中的各种职称。 解：{助教，讲师，副教授，教授} ⑶ 你所学过的课程。 解：{语文，数学，英语，物理，化学，生物，历史，地理，政治} ⑷ 你的家庭成员。 解：{父亲，母亲，妹妹，我} ⑸ 你知道的所有交通工具。 解：{汽车，火车，飞机，轮船，马车} ⑹ 字母表{a , b}上长度小于4的串的集合。 解：{a,b,aa,bb,ab,ba,aaa,aab,aba,abb,baa,bab,bba,bbb} ⑺ 集合{1,2,3,4}的幂集。 解：{Φ,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},
{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4} }
⑻ 所有的非负奇数。 解：{1,3,5,7,?} ⑼ 0～100的所有正整数。 解：{1,2,3,?,100} (10) 1～10之间的和为10的整数集合的集合。
解：设所求的集合为A，集合A中的元素为Ai（i=1,2,3,?），Ai也是集合，Ai中的元素
在1～10之间，并且和为10。根据集合元素的彼此可区分性，可以计算出Ai中元素的最多个数，方法是：把1开始的正整数逐个相加，直到等于10（即10=1+2+3+4），这样，Ai中最多有4个元素。原因是：从最小的1开始，每次加入新的元素都只依次增加1，这样相加的和最小，要加到10，元素个数就最多。 求出最大的∣Ai∣＝4后，再求出元素个数为3，2，1的集合就可以了。 故A={{10},{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},{1,2,7},{1,3,6},{1,4,5},{2,3,5},{1,2,3,4}}
1.2 请用命题法给出下列集合
1
2.(1){x|0?x?100且x?z}(2){x|x?{a,b}*且|x|?4}(3){B|B?{1,2,3,4}}(4){L|L?{a,b}*}(5){x|x?2n?1,n?N}(6){(a,b)|a?b?10且a,b?[4,9]}(7){x|x?{0，1}*，且x中0的个数是1的个数的两倍}（8）{x|x?{0，1}*，且x中1的个数是10}(9){x|x?{0，1}*，且x中倒数第十个字符为1}（10）{A|?xi?A,xi?[1,10],i?[1,|A|],?xi=10}i?1|A||
1.3 给出下列集合的幂集.（02282075 冯蕊） (1) Φ (2) {Φ}
(3) {Φ,{Φ}} (4) {ε,0,00} (5) {0,1} 解答: (1) {Φ}
(2) {Φ,{Φ}}
(3) {Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}
(4) {Φ,{ε},{0},{00},{ε,0},{ε,00},{0,00},{ε,0,00}} (5) {Φ,{0},{1},{0,1}}
1.4.列出集合{0，1，2，3，4}中 (褚颖娜 02282072)
（1） 所有基数为3的子集
{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{0，2，3，}，{0，2，4}，.{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{0，3，4}，{2，3，4}
（2） 所有基数不大于3的子集
Ф，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{3，4}，{2，4}，{2，3}，{1，4}，{1，3}，{0，4}，{0，3}，{0，2}，{1，2}，{0，1}，{0，1，2}，{0，1，3}
{0，1，4}，{0，2，3，}，{0，2，4}，.{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{0，3，4}，{2，3，4}
1.5解答：
1、3、8、10、11、12、16正确
2
1.6证明下列各题目 （02282081 刘秋雯）
1）A=B，iff A是B的子集且B是A的子集
证明：
充分条件： ∵A=B
则由集合相等的定义知 对于任何x∈A，有x∈B ∴A为B的子集 同理，B为A的子集 必要条件： ∵A为B的子集
∴ 对于任何x∈A，都有x∈B 又∵B为A的子集，
∴对于任何x∈B有，x∈A 由集合相等的定义知，A=B
2）如果A为B的子集，则|A|〈=|B|
证明：
A为B的子集，则对于任何x∈A 有x∈B,
∴存在一个集合C 使B=A∪C 且A∩C为空集 则|B|=|A|+|C| |C|〉=0 ∴|A|〈=|B|
3）如果A为B的真子集，则|A|〈=|B|
证明：
（1）当A为有穷集合时，因为A为B的真子集，且则对于任何x∈A 有x∈B,
且存在∈B的x，此x不∈A
∴存在一个非空集合C ， 使B=A∪C 且A∩C为空集 则|B|=|A|+|C| 且|C|〉=1 ∴|A|〈|B|
（2）当A为无穷集合，因为A为B的真子集，则B一定也为无穷集合，|A|＝∞，|B|＝∞
∴|A|=|B| 综合（1），（2）所述，|A|<=|B|
4）如果A是有穷集且A为B的真子集则|A|〈|B|
证明：
见上题证明（1）
5）如果A为B的子集，则对于任何x∈A，有x∈B
证明：
若A为B的子集，则由子集定义可知，对于任何x∈A，有x∈B
6）如果A是B的真子集，则对于任何x∈A，有x∈B，并且存在x∈B，但x不
3
∈A
证明：
由真子集的定义可证
7）如果A为B的子集，B为C的子集，则A为C的子集 证明：
A为B的子集，B为C的子集 则对于任何x∈A，则x都∈B，
且，又对于任何y∈B，则y∈C，∴对于任何x∈A，x∈C ∴A为C的子集
8）如果A为B的真子集，B为C的真子集，则A为C的真子集 证明：
A为B的真子集，B为C的真子集 则对于任何x∈A，则x都∈B， 且，存在x∈B但次x不∈A，
又对于任何y∈B，则y∈C，存在y∈C但此y不∈B， ∴对于任何x∈A，x∈C，存在x∈C.x不∈A ∴A为C的真子集
9）如果A为B的子集，B为C的真子集，则A为C的真子集 证明：
因为A为B的子集，B为C的真子集 则对于任何x∈A， x都∈B，且x都∈C
又对于任何y∈B，则y∈C，存在y∈C但此y不∈B，则y不∈A ∴对于任何x∈A，x∈C，存在x∈C.x不∈A ∴A为C的真子集
10）如果A为B的真子集，B为C的子集，则A为C的真子集 证明：
A为B的真子集，B为C的子集 则对于任何x∈A，则x都∈B， 且存在x∈B但次x不∈A， 又对于任何y∈B，则y∈C
∴对于任何x∈A，x∈C，存在x∈C.x不∈A ∴A为C的真子集
11）如果A=B，则|A|=|B|
证明：
A=B，则A与B所含元素相同 ∴|A|=|B|
12）如果A为B的子集，B为C的真子集，或如果A为B的真子集，B为C的子集，则A为C的真子集
证明：证明见9，10
1.7 A = {1,2,3,4,5,6} B = {1,3,5} C = {2,4,6} U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
(1). A
?B
4
= {1,3,5} = B (2).(A?B)?C ?{2,4,6}
= {1,3,5}
={1,2,3,4,5,6} = A (3).(A?B)?(U?C)= {1,3,5}
?{0,1,3,5,7,8,9}
={0,1,3,5,7,8,9} = C
(4).A-B-C
= {2,4,6} – {2,4,6} =?
(5).A × B × C ×? =?
?A ×? = ? (6).(A?B)?A?C?A
= {1,3,5}
?{0,7,8,9}
?{0,7,8,9}
= {0,1,3,5,7,8,9} = C
(7).A?B?A=A?B?C
=A?{(a,b)|(a?B,b?C)或(a?B,b?C)或(a?B,b?C)}
={(a,b,c)|(a?A,b?B,c?C)或(a?A,b?B,c?C)或(a?A,b?B,c?C)} (8).A= A= A?C
?B?(A?B)?C
?A?C ?C
= A
={1，2，3，4，5，6}
5