1．8 对论域U上的集合A、B、C，证明以下结论成立。 （02282047 吴贤珺）
⑴ A∪B＝B∪A 证：对任意的x，
x∈A∪B
?x∈A?x∈B ?x∈B?x∈A
?x∈B∪A
故A∪B?B∪A 且 B∪A?A∪B
则 A∪B＝B∪A。 ⑵ (A∪B)∪C＝A∪(B∪C) 证：对任意的x，
x∈(A∪B)∪C
?x∈(A∪B)?x∈C ?(x∈A?x∈B)?x∈C
?x∈A?x∈B?x∈C ?x∈A?(x∈B?x∈C) ?x∈A?x∈(B∪C ) ?x∈A∪(B∪C)
故(A∪B)∪C ? A∪(B∪C) 且 A∪(B∪C) ? (A∪B)∪C 则 (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)。
⑶ A∪B＝A iff B?A
证： ① 由B?A∪B及 A∪B＝A知 B?A。 ② 由B?A 知?x∈B, x∈A
则对任意的x，
x∈A∪B ?x∈A?x∈B ?x∈A
故 A∪B?A，又A?A∪B，所以 A∪B＝A。 综合①②得到 A∪B＝A iff B?A。
⑷ A×(B∪C)＝(A×B)∪(A∪C) 证：对任意的有序对(a, b)，
(a, b)∈A×(B∪C)
?a∈A?b∈(B∪C) ?a∈A?(b∈B?b∈C)
?(a∈A?b∈B)?( a∈A?b∈C)
?(a, b)∈A×B?(a, b)∈A×C ?(a, b)∈(A×B)∪(A×C)
故A×(B∪C) ? (A×B)∪(A∪C) 且 (A×B)∪(A∪C) ? A×(B∪C) 则 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A∪C)。
⑸ (B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)
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证：对任意的有序对(b, a)，
(b, a)∈(B∩C)×A
?b∈(B∩C)?a∈A ?(b∈B?b∈C)?a∈A
?(b∈B?a∈A)?(b∈C?a∈A)
?(b, a)∈B×A?(b, a)∈C×A ?(b, a)∈(B×A)∩(C×A)
故(B∩C)×A ? (B×A)∩(C×A) 且 (B×A)∩(C×A) ? (B∩C)×A 则 (B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)。
⑹ A×(B－C)＝(A×B)－(A×C) 证：对任意的有序对(a, b)，
(a, b)∈A×(B－C)
?a∈A?b∈(B－C) ?a∈A?(b∈B?b?C)
?(a∈A?b∈B)?( a∈A?b?C)
?(a, b)∈A×B?(a, b)?A×C ?(a, b)∈(A×B)－(A×C)
故A×(B∪C) ? (A×B)∪(A∪C) 且 (A×B)∪(A∪C) ? A×(B∪C) 则 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A∪C)。 需要说明的是：对于 (a, b)∈A×B?(a, b)?A×C ?(a∈A?b∈B)?( a∈A?b?C
本来，由(a, b)?A×C 只能得到 (a?A?b?C)。但是(a, b)∈A×B，故a∈A， 这样，必须b?C。
⑺ 如果 A?B，则2A?2B
证：对任意的C，C∈2A ?C?A
由于A?B，故C?B，则C∈2B，从而2A?2B。 ⑻ 2
A?B＝2A∩2B
证：对任意的C，
C∈2
A?B
?C?A∩B ?C?A?C?B ?C∈2A?C∈2B ?C∈2A∩2B
A?B 则 2
?2∩2且 2∩2?2
AB AB
A?B，故2
A?B＝2A∩2B。
⑼ │A∪B│≤│A│＋│B│
证：由容斥原理，│A∪B│＝│A│＋│B│－│A∩B│
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① 当A∩B≠Φ时，│A∪B│＜│A│＋│B│ ② 当A∩B＝Φ时，│A∪B│＝│A│＋│B│ 由①②知│A∪B│≤│A│＋│B│。
(10) (B－C)×A＝(B×A)－(C×A) 证：对任意的有序对(b, a)，
(b, a)∈(B－C)×A
?b∈(B－C)?a∈A ?(b∈B?b?C)?a∈A
?(b∈B?a∈A)?(b?C?a∈A)
?(b, a)∈B×A?(b, a)?C×A ?(b, a)∈(B×A)－(C×A)
故 (B－C)×A ? (B×A)－(C×A) 且 (B×A)－(C×A) ? (B－C)×A 则 (B－C)×A＝(B×A)－(C×A)。 需要说明的是：对于 (b, a)∈B×A?(b, a)?C×A ?(b∈B?a∈A)?(b?C?a∈A)
本来，由(b, a)?C×A 只能得到 (a?A?b?C)。但是(b, a)∈B×A，故a∈A， 这样，必须b?C。 (11) 如果A?B，则B?A 证：对任意的x，x∈B?x?B
由于A?B，故x?A，即x∈A。因此，B?A。
(12) B＝A?A∪B＝U且A∩B＝Φ
证：① 由B＝A 以及A的定义知，A∪B＝A∪A＝U，A∩B＝A∩A＝Φ。
② 由A∩B＝Φ知，对任意的x∈B，x?A，即?x∈B，x∈A，故B?A。 又由A∪B＝U知，对任意的x∈A，x?A ，则x∈B，故A?B。 这样，B＝A。
综合①②得，B＝A?A∪B＝U且A∩B＝Φ。
(13) A?B＝A∪B 证：对任意的x，
x∈A?B
?x?(A∩B)
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?x?A?x?B ?x∈A?x∈B ?x∈(A∪B)
则A?B?A∪B 且 A∪B?A?B 故A?B＝A∪B。
(14) A?B＝A∩B 证：对任意的x，
x∈A?B
?x?(A∪B) ?x?A?x?B ?x∈A?x∈B ?x∈(A∩B)
则A?B?A∩B 且 A∩B?A?B 故A?B＝A∩B。
1.9解答
(6) R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,b),(b,c),(a,c)}
(9) R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e), (a,b),(b,c),(a,c),(b,a),(c,b),(c,a)}
1.10 设R1和R2是集合{a,b,c,d,e}上的二元关系,其中,
R1={(a,b),(c,d),(b,d),(b,b),(d,e)}, R2={(a,a),(b,c),(d,c),(e,d),(c,a)} 求:R1R2,R2R1,R1+,R2+,R1*,R2*. 解答:
R1R2={(a,c),(c,c),(b,c),(d,d)}
R2R1={(a,b),(b,d),(d,d),(e,e),(c,b)}
R1+= {(a,b),(c,d),(b,d)(b,b),(d,e),(a,d),(a,e),(b.e),(c,e)} R2+={(a,a),(b,c),(d,c),(e,d),(c,a)(b,a),(d,a),(e,c),(e,a)}
R1*= R1+?{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e)} R2*= R2+?{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e)}
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1.11.设R={(a,b),(c,d),(b,d)}是集合{a,b,c,d,e}上的二元关系,求: （敖 雪 峰） (1) R的传递闭包. (2) R的自反传递闭包. 解:
(1) R的传递闭包是{(a,b),(c,d),(b,d),(a,d)}.
(2) R的自反传递闭包是{(e,e),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(c,d),(b,d),(a,d)}.
1．12 设R1和R2是集合{a,b,c,d,e}上的二元关系，请证明下列关系。
(唐明珠 02282084)
(1) R1R2?R2R1。
证明：用反证法，假设R1R2?R2R1。
设R1?{(a,b),(c,d)},R2?{(b,c),(d,e)}。
则R1R2?{(a,c)},R2R1?{(b,d)}, 这与R1R2?R2R1相矛盾， 所以R1R2?R2R1。 (2) (R1R2)R3?R1(R2R3)。
证明：任取(x.,y),其中x,y?{a,b,c,d,e}，使得(x,y)?(R1R2)R3 ??z((x,z)?R1R2?(z,y)?R3) z?{a,b,c,d,e} ??z((x,t)?R1?(t,z)?R2?(z,y)?R3)t?{a,b,c,d,e} ??z((x,t)?R1)??z((t,z)?R2?(z,y)?R3) ?(x,t)?R1?(t,y)?R2R3 ?(x,y)?R1(R2R3)
所以得证(R1R2)R3?R1(R2R3)。
(3) (R1?R2)R3?R1R3?R2R3。
证明：任取(x.,y),其中x,y?{a,b,c,d,e}，使得(x,y)?(R1?R2)R3。 ??z((x,z)?R1?R2?(z,y)?R3) z?{a,b,c,d,e}
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