塑性力学复习纲要
第一章 绪论
1．弹性与弹性变形
物体受到不大的外力作用后产生的变形，在外力除去后可以全部恢复，物体仍保持原有的形状和尺寸。这种性质称为材料的弹性，这种可以全部恢复的变形叫弹性变形。这时称物体处于弹性状态。
2．塑性与塑性变形
当外力超过一定限度后，在物体某些部分内，任意点上的应变将不随应力的消失而恢复。这种变形不可恢复的性质称为塑性，不随应力消失而恢复的那部分变形称为塑性变形。
3．弹性区与塑性区
在加载过程中，物体的一部分产生塑性变形时，称该部分已进入塑性状态，同时将该部分称为物体的塑性区，未进入塑性状态的区域则为弹性区。
4．塑性变形的特点
（1）塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系。塑性变形不仅与当前的应力状态有关，还与加载的历史有关。
（2）应力与应变（或应变率）之间呈非线性关系。 5．塑性力学研究的主要内容
（1）建立在塑性状态下应力与应变（或应变率）之间的关系。
（2）研究物体受外力作用进入塑性状态后产生的应力和变形，包括研究在加载过程中的每一时刻，物体内各点的应力和变形。以及确定弹性区与塑性区的界限。
（3）有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态（塑性变形无限制发展，物体已达到它对外力的最大承载能力）时的荷载，即极限荷载。这种研究方法通常称为极限分析。
6．塑性力学的基本假设 （1）材料是均匀连续的；
（2）在进入塑性状态前为各向同性（特别说明时除外）； （3）物体承受荷载之前处于没有初应力的自然状态。
在我们所研究的范围内，通常不考虑时间因素对变形的影响（如弹性后效、蠕变等），而且只限于考虑在常温下和缓慢变形的情形，所以也忽略温度和应变速度对材料性质的影响。
7．简单拉伸与压缩试验 （1）拉伸试验
由拉伸应力—应变曲线可知：
图1.1 图1.2
1
①拉伸开始阶段σ和ε成正比，变形全是弹性的。P点的纵坐标?P称为比例极限。
②应力超过?P后，σ与ε不再成正比，但变形仍是弹性的。Q点的纵坐标?e称为弹性极限。 ③应力超过?e后，在SA段内应力不再增加，而应变继续增长，这种现象称为屈服现象。对应于R点的应力称为上屈服极限，对应于SA的应力称为下屈服极限。一般把下屈服极限称为屈服极限，以?s表示。
④对于没有明显的屈服阶段，常规定以产生某一指定的残余应变（例如0.2％时的应力作为屈服极限。记为?0.2。
常常认为（?P=?e=?s），在σ≤?s阶段，服从虎克定律σ=E?。这里E是弹性模量，它也是σ—ε曲线初始直线段的斜率。
⑤A点以后如欲继续产生变形，则需继续加载，σ—ε关系如曲线ABF，这一阶段称为强化
d?阶段。在这一阶段中，任一点上曲线的斜率E1?称为强化模量，一般E1＜E。
d?在进入塑性阶段（即应力σ≥?s）以后，设从任一点B处开始卸载，则σ—ε曲线为通过B点且与初始直线段OP平行的直线BCD，当全部应力卸完时即达到横坐标轴上的D点，原来在B点时整个应变ε为OH，卸载后DH段消失，故DH段即为相应于B点的弹性应变?e，而残余应变OD段，即为相应于B点的塑性应变?p。故有ε=?e+?p。同时可以看出，卸载至任意点C时，卸掉的应力??与恢复的应变??之间也应当服从虎克定律，即???E??（见图1.1）由图1.1也可以看出BD线上的C点与OP线上的C‘点具有同样的纵坐标，也就是说受有同样大小的应力，而其横坐标，也就是产生的应变却完全不同。这也说明在塑性力学中应力和应变没有一一对应的关系。所产生的应变，不仅和所受的应力有关，而且和加载历史有关。
设从D点再重新加载。σ—ε曲线几乎完全沿原来的卸载直线DCB上升，直至非常接近B点处才略有弯曲最后到达BF段上的一点S‘，（非常接近B点，也可以近似地认为与B点重合）。
’
这样可以看到，经过一次塑性变形以后再重新加载的试件，其弹性段增大了（图中S点或B点高于S点），屈服极限提高了（可以认为S‘点或B点的纵坐标为重新加载时的屈服极限）。这种现象称为强化现象，相当于S’点或B点的应力称为后继屈服极限。自S’点以后再继续加载时将仍沿
‘
原来未经卸载的σ—ε曲线SF前进。
⑥图1.1中σ—ε曲线至F点后开始下降，这意味着应力降低而应变仍可继续增长，直至C点试件破坏。实际上这是由于在F点处试件已开始出现颈缩现象，试件截面积A与原始截面积A0相差甚大，仍以A0除P得到的已不是试件的真实应力。以瞬时截面积A去除P才可较真实地反
P映试件中的应力，这时??称为真应力。图1.1中的虚线FG’即表示在这一阶段真应力与应变
A之间的关系。
（2）压缩试验 Buschinger效应
试验表明，对大多数金属在小变形阶段，压缩σ—ε曲线与拉伸σ—ε曲线基本一致。可认为两者的弹性模量，屈服极限是相同的，如图（a）所示。
（a） （b）
2
具有强化性质的材料在经过拉伸进入塑性以后再卸载并反向加载时会导致压缩屈服极限的降低，这种现象称为Bauschinger效应。（如图（b）所示）
（3）静水压力试验
在不太大的压力作用下，可以认为体积应变与静水压力p呈线性关系：
p??
K即对一般金属，体积应变完全是线性弹性的，并且静水压力不产生塑性变形，它对屈服极限的影响完全可以忽略不计。
8．几种简化模型 （1）理想塑性材料 ① 理想弹塑性模型
对有相当长屈服阶段的材料可以假设这段水平线一直延伸直至破坏，而忽略后面的强化，这种模型叫做理想弹塑性模型。如图（a）所示。这种模型的材料应力应变关系为
（a） （b）
式中sgn为符号函数
??E? 当???s??????ssgn? 当???s
?1 当??0，sgnε=?
?1 当??0。?② 理想刚塑性模型。
如果所研究的问题具有较大的塑性变形，因而弹性变形可以忽略时，可以假设无弹性变形，只有塑性变形。这种模型叫做理想刚塑性模型。如图（b）所示。这种模型的材料的应力应变关系为
???ssgn? （2）强化材料
对没有明显屈服阶段的材料，不能将进入塑性状态以后的应力应变关系用一条水平线来描述，根据曲线的形状可以采用以下几种模型：
（a） （b） （c）
① 线性强化弹塑性模型
图（a）所示为线性强化弹塑性模型，它的应力应变关系为：
3
?????E? 当???s??[?s?E1(???s)]sgn? 当???s
② 线性强化刚塑性模型
如果可以忽略弹性变形，即成为图（b）所示的线性强化刚塑性模型，其应力应变关系为：
??[?s?E1(???s)]sgn? ③ 幂强化模型
曲线如图（c）所示，其应力应变关系为：
??B?nsgn?
其中0≤n≤1，
当n=1时，成为直线方程??B?，服从虎克定律（此时B=E）。 当n=0时，成为??Bsgn?，成为理想刚塑性模型（此时B=?s）。
第二章 应力状态和应变状态
1．应力张量及其分解
图2.1 图2.2
取直角坐标系x，y，z，则物体内任意点处的应力状态可以表示为：
??x ?xy ?xz???11 ?12 ?13?????? ? ?? ? ?或= ?yyz?2223?yxij?21??? ? ?????31 ?32 ?33??z??zxzy
由剪应力互等定理知?xy??yx , ?zx??xz , ?zy??yz。
2．主应力及主平面及其求法
物体每一点都存在三个互相正交的平面，在其上只有正应力而没有剪应力，称为主平面，其上的正应力称为主应力。
设通过一点的某截面的法线n的方向余弦为lx，ly，lz，或者简记为li（i=1，2，3）。则有 斜截面上的正应力：
?n=?ijlilj=?xl12??yl22??zl32?2?xyl1l2?2?yzl2l3?2?zxl3l1
斜截面上的剪应力：
2222222?n?p??n?px?py?pz??n
其中p是斜截面上的总应力。
4
主应力方程： ?其中， I1??x??y??I2??(?x?y3?I1?2?I2??I3= 0 z??y?z??z?x)??xy??22yz??zx2 ?x ?xy ?xzI3??yx ?y ?yz??x?y?z?2?xy?yz?zx??z?2yz??y?zx??z?xy22?zx ?zy ?zI1，I2，I3与坐标轴的选择无关。分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。 当x，y，z轴和三个主轴方向一致时： I1??1??2??3 I2??(?1?2??2?3??3?1)
I3??1?2?3由主应力方程可以求出三个主应力。 以求得的任一个主应力σj（j = 1，2，3）代入 σijli－σlj=0 都可以得到关于I1，I2，I3的三个方程，其中只有两个是独立的，与
222l1?l2?l3?lili=1 联立可解出主应力σj（j = 1，2，3）所在的主平面方位。 3．平均应力、应力球张量及应力偏张量 111 ?m?I1???1??2??3????x??y??z? 333叫做平均应力。 在各方向同时作用有大小为?m的应力时，相当于静水压力（或反向的静水压力），它不产生塑性变形，所以从应力张量中将各向相同的?m分离出来，对于研究塑性变形更为方便，即
??x ?xy ?xz???m 0 0???x??m ?xy ?xz???????yx ?y ?yz???0 ?m 0????yx ?y??m ?yz?? ? ???0 0 ???? ? ???m??z?zyz?zxzy?zx??? * ?m???? ?m?如果令
?sx sxy sxz???x??m ?xy ?xz??m 0 0???????m?ij=0 ?m 0，sij??syx sy syz????yx ?y??m ?yz???s s s??? ? ?????0 0 ?m??zyz?zxzyz??zx则*式可写为： ?ij??m?ij?sij
?0 当i?j?m?ij称为应力球张量，不引起塑性变形；
?ij???1, 当i?j
5