相当的。
438．各斜截面Ⅲ上的剪应变及最大剪应变：
??J21?, ?8?22?, Γ=γ。
?1??2??3??2??1??3?
?3??1??2??如果规定ε1≥ε2≥ε3，则γ 2为最大剪应变： ?max??1??3 9．表示应变状态的Lode参数。 ????（1）单向拉伸：?1?0, ?2??3，有 ??=－1。 （2）纯剪切：?2?0, ?1???3，有 ??=0。
2?2?(?1??3)?1??3
（3）单向压缩：?1??2?0, ?3?0，有 ??=1。
第三章 塑性本构关系
1．塑性力学研究的主要内容
塑性力学主要研究在复杂应力状态下的屈服条件，加载准则，强化条件（只对强化材料），以及塑性应力应变关系的规律。
2．屈服条件的一般形式
屈服条件应该和所有应力分量有关，因而可以写成：
f1（?x, ?y, ?z, ?xy, ?yz , ?zx）= C
式中，f1称为屈服函数，C是与材料性质有关的常数。 若材料各向同性，则：
f（?1, ?2, ?3）= C（f是?1, ?2, ?3的对称函数） 或 f2（I1, I2, I3）= C 因为应力球张量不影响屈服，且J1=0，故屈服条件还可以写为：
f3（ J2, J3）= C
因为J3是应力偏量各分量的三次函数，当所有应力分量均改变符号（即由拉变压）时，J3也变号。但由实验结果可知，对一般韧性金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的，即所有应力分量均改变符号时，屈服函数的值应当不变。故可断定：屈服函数应当是应力偏张量第二，第三不变量J2和J3的函数，同时又必须是J3的偶函数。
3．应力空间
以?1, ?2, ?3为坐标的三维空间，叫做应力空间（如图3.1所示）。，应力空间中的—点P，就代表一个应力状态，它的三个主应力是?1, ?2, ?3。
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图3.1 图3.2
4．屈服曲面
屈服条件表达式表示应力空间中的一个曲面，称为屈服曲面。 5．等倾线与π平面
等倾线：应力空间中通过原点与?1, ?2, ?3轴正方向成相同夹角的直线，称为等倾线。 方向余弦为（
1，
1，
1）。
2333方程式为： ?1??? ?3
等倾线上的任意点所代表的应力状态都是球张量，其偏张量为零。 π平面：经过原点O以等倾线为法线的平面称为π平面（见图3.2）， 方程式为： ?1??2? ?3?0
π平面上的任意点所代表的应力状态，其球张量为零，这个应力状态本身就是一个偏张量。 设应力空间中任一点P表示应力状态（?1, ?2, ?3），矢量OP分解成沿等倾线和在π平面上的两个分量OQ和OS，则OQ和OS分别表示这一应力状态的球张量和偏张量。 5．屈服曲面和屈服轨迹
在应力空间中，靠近坐标原点且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点所表示的应力状态处于弹性阶段），而在其外则为塑性区（其中各点所表示的应力状态已进入塑性阶段）。这两个区的分界面就是屈服曲面，也就是屈服条件方程在应力空间中所代表的曲面，是一个柱面，其母线平行于等倾线。
屈服曲面与π平面的交线叫做屈服轨迹。 6.．π平面上的点所代表的应力状态
图3.5（a）示出在应力空间中一点P（或矢量OP）表示一个应力状态（σ1、σ2、σ3），现在将矢量OP分解为与三个坐标轴平行且首尾相接的三个矢量OA、AB、BP，即OA∥σ1轴，长为σ1，AB∥σ2轴，长为σ2，BP平行于σ3轴，长为σ3。
（a） （b） 图3.5
12
矢量OS沿x轴及y轴的分量为
(OS)x = OA’cos30°－B’Scos30°=
’’
23(σ1－σ2) =
23(?1212(σ1－σ2)
12(OS)y =－OA’sin30°+ AB－B’Ssin30°=
OS?1??2??3)?16(2?2??1??3)
的长度：
(OS)x?(OS)y?22OS?13(?1??2)?(?22??3)?(?3??1)22?23?i?3?8?2J2
OS在π平面上的方位角：???arctg(OS)y(OS)x?1?2?2??1??3??arctg???1??3?3?????? ?arctg??3??
式中，??为应力状态的Lode参数。
有了上面的两个公式，对一个已知应力状态（σ1，σ2，σ3）就可以得到π平面上代表它的
偏张量的点S的位置。如果规定σ1≥σ2≥σ3，则有－1≤??≤1，因而－30°≤??≤30°，也就是说，如果σ1，σ2，σ3按大小顺序排列，则在π平面上代表应力偏张量的点S将坐落在O?1'轴正方向与O?3'轴负方向之间。
对单向拉伸，??=－1，??=－30°，S点位于O?1'轴正方向。 对单向压缩，??=+1，??=30°，S点位于O?3'轴负方向上。
对纯剪切，??=0，??=0°，S点位于O?1'轴正方向与O?3'轴负方向的分角线上。
如果主应力顺序不按σ1≥σ2≥σ3的规定排列，则S点可位于π平面的任何点，而没有－30°≤??≤30°的限制。
反之，如果已知π平面上一点S，就不可能唯一地确定它所代表的原始应力状态，因为可以加上任意大小的球张量而不改变π平面上S点的位置。不过可以根据S点的位置唯一地确定它所代表的应力偏张量的大小。
7．Tresca屈服条件
（1）各主应力按大小顺序排列时的屈服条件：
σ1－σ3 = σs
在Tresca屈服条件下σs和τs的关系为：
?s τs=
2（2）各主应力不按大小顺序排列：
???1??2???s22????22??3???s22????3??1???s?0
22?或 4J2?27J3?9?sJ2?6?sJ2??s?0 上式左端是J3的偶函数。
Tresca屈服条件常用在主应力大小顺序为已知的问题上。
（3）在应力空间中表示Tresca屈服条件的屈服曲面是一个以等倾线为轴线的无限长正六角柱面，在π平面上的屈服轨迹为一正六边形ABCDBF，如下图所示。
32246 13
图3.8
8．Mises屈服条件
（1）Mises屈服条件的表达式： J2?2
?2s32
22或 (?1??2)?(?2??3)?(?3??1)?2?s
（2）在Mises屈服条件下，τs与σs的关系为：
? τs =s=0.557σs
3使用Tresca屈服条件和使用Mises屈服条件，在τs和σs的关系上两者有着约15％的差异。
3线的无限长圆柱面。由图3.8可以看出，如果以单向拉伸得到的σ为基础，则Mises屈服条件和Tresca屈服条件在单向拉压应力状态下完全一致，在纯剪切时二者差异最大，约为15％。
9．加载曲面（后继屈服面）
在复杂应力状态下，理想塑性材料在应力空间中的屈服曲面具有固定大小形状，屈服以后经过卸载并重新加载，仍然保持原来的屈服曲面。
对强化材料，在应力空间中由屈服条件规定的曲面叫做初始屈服曲面，记做Σ，当加载至超出了屈服曲面后卸载，然后再重新加载时，屈服曲面比初始屈服面Σ向外扩大了，这就是强化现象。以Σ‘表示这个扩大了的新屈服面，称为后继屈服面或加载曲面；以?=0表示加载曲面，则?在π平面上，Mises屈服轨迹是一个半径为
2?s的圆。它的屈服曲面是一个以等倾线为轴
称为加载函数。
10．加载准则 （1）对强化材料
df＞0，加载
df＜0，卸载
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df = 0，中性变载
当采用Mises屈服条件时，屈服函数是应力偏张量第二不变量J2或应力强度σi，这时的加载准则为：
dσi＞0或d J2＞0，加载
dσi＜0或d J2＜0， 卸载 dσi = 0或d J2 = 0， 中性变载
（2）对理想塑性材料
df＜0，卸载 df = 0，加载
当采用Mises屈服条件时，有
dσi= 0或d J2 = 0，加载
dσi＜0或d J2＜0，卸载
由实验结果得知，加载时产生新的塑性变形，卸载及中性变载时均不产生新的塑性变形，其各应力分量与各应变分量的改变服从弹性规律。
注意：加载或卸载都是对一个点上的整个应力状态而言。在加载过程中某些应力分量可能增加而另一些可能减小，但只要根据加载准则判断是加载，则就说在这个点是加载，而不能说这个点对某些应力分量加载，而对另外的应力分量是卸载。如是加载，则在所有方向上都要使用塑性应力应变关系；如是卸载，则在所有方向上都要使用弹性应力应变关系。
11．简单加载和复杂加载 （1）简单加载与复杂加载 简单加载：在加载过程中各应力分量按某一参数t成比例地单调增长，即?ij?t?ij0 （这里?ij0为某一固定的应力状态）时，称为简单加载，即比例加载。
简单加载时，在应力空间中代表应力状态的点在连接原点O与代表应力状态?ij0的点A的直线上移动。加载路径是通过原点的直线。
（2）复杂加载：不符合上述比例关系的加载方式叫复杂加载。 复杂加载时加载路径可以是通过原点或不通过原点的曲线或折线。 12．简单加载原理
对小变形的受力物体，满足下列三个条件即可保证物体内所有各点都处于简单加载（充分条件）：
（1）物体上所有外加荷载（包括表面力和体积力）成比例增长。如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；
n（2）应力强度和应变强度呈幂关系?i?A?i;
1（3）材料不可压缩，即泊松比μ=。
2实际上，当材料进入塑性后，上面第三条基本是满足的，而第二条中的幂关系又可以近似地描述大部分金属材料的应力~应变关系。因而可以近似地认为只要物体上的所有外荷载成比例增长，就可在物体内所有各点实现简单加载。
13．强化假设
实验结果表明，对强化材料，其加载曲面与初始屈服曲面相比，不仅有形状及大小变化，而且还有位置的移动。因此，Tresca屈服条件和Mises屈服条件只适用于理想塑性材料；或者只作为强化材料第一次开始屈服的初始屈服面，而不能正确描述已进入塑性阶段并己产生一定塑性变形（强化）以后的屈服性质。实验结果还表明，加载曲面与初始屈服曲面相比，其形状大小的变化及位置的移动规律相当复杂，难以用数学模型来精确描述。因此，实际计算中往往作各种不同的假设，再依据这些假设建立相应的强化条件。
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