令z?1，得y??，
x??3，
所以PGE的法向量为因为m?n?1，
n?(?3,?,1)．
1?所以
?23??2?1?233?1????0,1?BP?222． ，解得，故
因此在线段BC上存在一点P，使二面角P?GE?B为45，
BP?且
32. ………14分
考点：1.线面平行的判定定理;2.面面垂直的性质定理;3.空间向量. 18.已知函数f(x)?x?a?e2?x．
（Ⅰ）当a?e时，求f(x)在区间[1,3]上的最小值； （Ⅱ）求证：存在实数x0?[?3,3]，有f(x0)?a.
【答案】（Ⅰ）当x?2时，f(x)有最小值为3；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】
2?xf'(x)?1?e试题分析：（Ⅰ）利用求导求得，进而得到f?x?的单调性求得其最小值；（Ⅱ）
“存在实数
x0?[?3,3]，有f(x)?a”等价于f(x)的最大值大于a.对原函数
f?x?求导，
3?3进而对a分情况，a?0,a?e,e使f(x)?a成立.
?a?e3,0?a?e?3，得到对任意实数a都存在x?[?3,3]2?x2f(x)?x?ea?e试题解析：（Ⅰ）当时，，x?[1,3]； 2?xf'(x)?1?e 因为，
? 由f(x)?0，x?2.
? 则x，f(x)，f(x) 关系如下：
x f?(x) (1,2) ? 2 (2,3) 0 ?
f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以当x?2时，f(x)有最小值为3. ………5分 （Ⅱ）“存在实数
x0?[?3,3]，有f(x)?a”等价于f(x)的最大值大于a.
?xf'(x)?1?ae 因为，
所以当a?0时，x?[?3,3]，f'(x)?0，f(x)在(?3,3)上单调递增， 所以f(x)的最大值为f(3)?f(0)?a. 所以当a?0时命题成立.
? 当a?0时，由f(x)?0得x?lna. ? 则x?R时，x，f(x)，f(x) 关系如下：
x f?(x) f(x) (??,lna) ? ↘ lna 0 极小值 (lna,??) ? ↗
考点：1.利用求导判断单调性;2.分类讨论思想.
19.已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的距离之和为4． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点
与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM|?|AN|?2|OP|2．
3，且椭圆C上的点到两个焦点2x2?y2?1【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据题意， e?3,2a?4，得到a,b,c的方程，进而求得椭圆C的方程；2（Ⅱ）设直线AM的方程为：y?kx，同时联立椭圆方程，由韦达定理进而求得
2?8k24k8?8k222M(,)2|OP|?228(1?k)1?4k1?4k，得到|AM||AN|?1?4k2，进而结，同理得到1?4k2论得到证明.
x2y2?2?1(a?b?0)2b试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为a，
?a2?b2?c2,?3?c?,?2?a?2a?4,由题意知?解得a?2，b?1．
x2?y2?1所以椭圆C的标准方程为4．……………………………5分
（Ⅱ）设直线AM的方程为：y?k(x?2)，则N(0,2k)．
?y?k(x?2)，?222222x?4y?4,(1+4k)x?16kx?16k?4?0（*）? 由 得．
设A(?2,0)，
M(x1,y1)，则?2，x1是方程（*）的两个根，
2?8k2x1?1?4k2． 所以
2?8k24kM(,)221?4k1?4k所以．
222?8k2?2?8k224k2?16?16k?41?k|AM|?()?()22222(1?4k)1?4k1?4k1?4k ．
22|AN|?4?4k?21?k ．
41?k2?21?k28(1?k2)|AM||AN|??21?4k1?4k2．
设直线OP的方程为：y?kx．
?y?kx，?2222x?4y?4,(1?4k)x?4?0． ?由 得
44k22x0?y0?2P(x,y)1?4k001?4k2． 设，则，
24?4k28?8k22|OP|?2|OP|?21?4k1?4k2． 所以，
22|AM|?|AN|?2|OP|所以． ……………13分
考点：1.椭圆的标准方程;2.韦达定理.
20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1?a(a?3)，an?1?Sn?3n，设bn?Sn?3n，
n?N?．
(Ⅰ)求证：数列{bn}是等比数列；
(Ⅱ)若an?1?an，n?N?，求实数a的最小值； （Ⅲ）当a?4时，给出一个新数列{en}，其中en???3,n?1,设这个新数列的前n项和为
?bn,n?2.Cn，若Cn可以写成tp (t,p?N?且t?1,p?1)的形式，则称Cn为“指数型和”．问
{Cn}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说
明理由．
n?1b?(a?3)?2n【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) a的最小值为?9；（Ⅲ）没有“指数型和”.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)根据题意将原条件化简，得到bn?1?2bn，进而利用等比数列的定义，证明数
?a?S?S,n?2,n?Nnnn?1列{bn}是等比数列；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，利用，得到数列{an}n?1b?2n的通项公式，进而得到关于a的不等式，求得a的最小值；（Ⅲ）根据(Ⅱ)得到，再
对
p按奇偶性进行分类讨论，进而得到结论.
n?1nn?1b?S?3?2S?3?3?2bn，n?N?，且a?3， n?1n试题解析：(Ⅰ) 因为n?1所以
{bn}是首项为a?3，公比为2等比数列．
n?1b?(a?3)?2n所以． ………4分 nn?1S?3?(a?3)?2n(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得，
an?Sn?Sn?1,n?2,n?N?． a,n?1?an??n?1n?2?2?3?(a?3)?2,n?2
因为
an?1?an，
所以a??9，且a?3．
所以a的最小值为?9． ………9分
n?1b?2a?4n（Ⅲ）由(Ⅰ)当时，
C?3?2?4?当n?2时，n?2n?1?2n?1，C1?3，
nC?2?1．
所以对正整数n都有n?pnpnt,p?Nt?2?1t?1?2由，，(且t?1,p?1)，t只能是不小于3的奇数．
npt?1?(t?1)(t?1)?2① 当为偶数时，，
p2p2pp2p2因为t?1和t?1都是大于1的正整数，
p2所以存在正整数g,h，使得t?1?2，t?1?2h，
gp2hg?h2g?2h?2,2(2?1)?2，所以2h?2且2g?h?1?1?h?1,g?2，
2CC?3n?33相应的，即有，3为“指数型和”；
② 当
p为奇数时，tp?1?(t?1)(1?t?t2???tp?1)，
2p?1p由于1?t?t???t是 个奇数之和，仍为奇数，又t?1为正偶数，
所以(t?1)(1?t?t2???tp?1)?2n 不成立，
此时没有“指数型和”． 考点：1.等比数列的定义;2.通项公式;3.分类讨论思想.
………14分