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九年级上学期期中 中考及综合题目集锦
第二章 一元二次方程
1.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC =
5 cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm．
B
2
A'′
A
E D （B'）
F
C 2、如图，折叠直角梯形纸片的上底AD，点D落在底边BC上点F处，已知DC=8㎝，FC = 4㎝，则
EC长 ㎝
3如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（ ） （A）
2?1（B） 23?15?16?1 （C） （D） 2224如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与
2
矩形一边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m．若设道路宽为xm，则根据题意可列方程
为 ．
解答题
（1）x?5x?2?0；（2）9(2x?3)?4(2x?5)?0； 1
222
?x??x?（3）?5(6x2?7x)2?2(6x2?7x)?3； ?????6?0；（4）?x?1??x?1?
22(4) (3?x)?x?5 (5) x?23x?3?0
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2、已知二次方程x2?5x?k?0两根的差为3，求k的值（8分）
3、已知关于x的方程x?2(m?2)x?m?4?0两根的平方和比两根的积大21，求m的值（9分）
4 已知(a?b)?(a?b)?6?0，求a2?b2的值
5、已知x1,x2是方程5x?2x?2?0的两根，求一个新的一元二次方程，使它的两根是
6、已知关于x的方程x?(4k?1)x?2k?1?0.（10分） ⑴求证此方程一定有两个不相等的实根;
⑵若x1,x2是方程的两根，且(x1?2)(x2?2)?2k?3，求k的值.
221的两个不相等实根中有一个是0，问是否存7、已知关于x的方程x?2(m?1)x?m?2m?3?0??○
22222222222x1x和2. x2?1x1?12的两个实根x1,x2之差的绝对值为在实数k，使关于x的方程x?(k?m)x?k?m?5m?2?0??○1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
8已知三角形的两边长分别是方程x2?3x?2?0的两根，第三边的长是方程2x2?5x?3?0的根，求这个三角形的周长。
9. 在一个50米长，30米宽的矩形荒地上，要设计花坛，并要使花坛所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。
10. 已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程
x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0的两个实数根，第三边BC的长是5。
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
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第三章证明三
主要知识点：
一、三角形
按角分
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形 三条边都不相等的三角形
按边分 等腰三角形
等边三角形（正三角形）
二、四边形
1. 知识结构如下图
（1）弄清定义及四边形之间关系图1：
矩形 一组邻边相等
一个角是直角
两组对边平行四边形 正方形 分别平行 一组邻边相等 一个角是直角 菱形 四边形
两腰相等 等腰梯形
只有一组梯形 对边平行 有一个角是直角
直角梯形
（2）四边形之间关系图2： 四边形
正
矩形 方 菱形 等腰梯形 直角梯形
形
梯形
平行四边形
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2、几种特殊的四边形的性质和判定：
特殊四边形 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 边 性 质 角 对角线 边 1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 2、三个角是直角的四边形是矩形 菱形 四边相等 对角相等 邻角互补 对角线互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角 正方形 四边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2、有一组邻边相等的矩形是正方形。 3、有一个角是直角的菱形是正方形。 1、一组邻边相等的平行四边形是菱形 2、四边相等的四边形是菱形 3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、对角线相等的菱形是正方形。 5、对角线互相垂直的矩形是正方形。 等腰梯形 两底平行 两腰相等 同一底上的两个底角相等 1、两腰相等的梯形是等腰梯形。 2、在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。 3、对角线相等的梯形是等腰梯形 3、对角线相等的平行四边形是矩形 判 定 角 4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线 5、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线相等
3、一些定理和推论：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 推论：夹在两平行线间的平行线段相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4、一些思想方法：
⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。
⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。
⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。 ⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。
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⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）。
⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。
5、注意：
⑴四边形中基本图形 ⑵梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)
⑶菱形的面积公式：S=两条对角线积的一半。
两个对角线平方之和等于边长平方的四倍
青岛中考原题
1 (2012青岛)(8分)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点
O既是AC的中点，又是EF的中点． (1)求证：△BOE≌△DOF；
[来源:学科网ZXXK] 1
(2)若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．
2
2．（2011青岛）(8分)在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．
(1)求证：△BEC≌△DFA；
(2)连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
A E B D F C
3．（2010青岛）（本小题满分8分）
已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF． （1）求证：BE = DF；
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