2010届电子信息工程专业毕业设计（论文）
k?1H(?)??h(n)cos[(n?0N?12?n)?]
?(?)??(N?12)?幅度函数H(ω)包括正负值,相位函数是严格线性相位,说明滤波器有(N-1)/2个抽样的延时,它等于单位抽样响应h(n)长度的一半。图2-1中，线性相位无90°附加相移,幅度函数在π处存在零点,且对ω=π呈奇对称,因此不适合作高通滤波器。图2-2所示：线性相位无90°附加相移,幅度函数对在ω=0、π、2π呈偶对称,因此适合作低通、高通滤波器。
(2) h(n)奇对称
k?1H(?)??n?0h(n)sin[()??N?12?n)?]
?(?)??(N?12?2相位函数仍是线性,但在零频率(ω=0)处有π/2的截距。不仅有(N-1)个抽样的延时,还产生一个π/2的相移。
图2-3中,线性相位有90°附加相移,幅度函数在0、2π处为零点,且对ω=0、2π呈奇对称,对ω=π呈偶对称。
图2-4中,线性相位有90°附加相移,幅度函数在0、π、2π处为零,且对ω=0、π、2π呈奇对称。图2-3、图2-4所示的滤波器均适合在微分器和90°移相器中应用。
图2-1 长度N为偶数、偶对称时的相位函数、冲激响应、幅度函数波形图
图2-2 长度N为奇数、偶对称时的相位函数、冲激响应、幅度函数波形图
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图2-3 长度N为偶数、奇对称时的相位函数、冲激响应、幅度函数波形图
图2-4 长度N为奇数、奇对称时的相位函数、冲激响应、幅度函数波形图
四种线性相位FIR滤波器的特性可以总结如下： 第一种情况，偶对称、奇数点，四种滤波器都可设计；
第二种情况，偶对称、偶数点，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻； 第三种情况，奇对称、奇数点，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计； 第四种情况，奇对称、偶数点，可设计高、带通滤波器，不能设计低通和带阻。
2.3 FIR数字滤波器的设计原理
一个截止频率为?c(rad/s)的理想数字低通滤波器，其传递函数的表达式是：
?j???e,???c?j? (式2.3.1) Hd(e)????0,?c????由式2.3.1可以看出，这个滤波器在物理上是不可实现的，因为冲激响应具有无限性和因果性。为了产生有限长度的冲激响应函数，我们取样响应为h(n)，长度为N，其系数函数为H(z)：
N?1H(z)?
?h(n)zn?0?n (式2.3.2)
用h(n)表示截取hd(n)后冲激响应，即h(n)??(n)hd(n)，式子中?(n)为窗函数，长度为N。当τ=(N-1)/2时，截取的一段h(n)对(N-1)/2对称，可保证所设计的滤波器具有线性相位。
一般来说，FIR数字滤波器输出y(n)的Z变换形式Y(z)与输入x(n)的Z变换形式之间的关系如下：
Y(z)?H(z)X(z)?(h(0)?h(1)z?1???h(n)z?n)X(z) (式2.3.3)
从上面的Z变换和结构图可以很容易得出FIR滤波器的差分方程表示形式。对式2.3.3进行反Z变换，可得：
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y(n)?h(1)x(n)?h(2)x(n?1)??h(n)x(1) (式2.3.4)
?
图2-5卷积型滤波器
式(2.3.4)为FIR数字滤波器的时域表示方法，其中x(n)是在时间n的滤波器的输入抽样值。根据式(2.3.4)即可对滤波器进行设计。从上面的公式我们可以看出，在对滤波器实际设计时，整个过程的运算量很大。设计完成后对已设计的滤波器的频率响应进行校核，运算量也很大。并且在数字滤波器设计的过程中，要根据设计要求和滤波效果不断地调整，以达到设计的最优化。在这种情况下，要进行大量复杂的运算，单纯靠公式计算和编制简单的程序很难在短时间内完成。而利用MATLAB工具进行计算机辅助设计，则可以快速有效地设计数字滤波器，大大的减少了计算量。
2.4 数字滤波器的性能指标
我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。
在通带内： 1- AP≤H(ej?) ≤1 ?c≤?c 在阻带中： H(ej?) ≤Ast ?st≤?≤?c
其中?c为通带截止频率, ?st为阻带截止频率，Ap为通带误差, Ast为阻带误差。
图2-6 低通滤波器的幅度特性
与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划分为低通、高通、带通、带阻、全通等类型，由于数字滤波器的频率响应是周期性的，周期为2π。
由于频率响应的周期性，频率变量以数字频率?来表示，所以数字滤波器设计中必须给出抽样频率。图2-7为各种数字滤波器理想幅度，可以看出：
1、 一个高通滤波器相当于一个全通滤波器减去一个低通滤波器。 2、 一个带通滤波器相当于两个低通滤波器相减。
3、 一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器加上一个高通滤波器。
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这里的相加相减都是相当于并联结构。
图2-7中所示的各种数字滤波器理想频率响应只表示了正频率部分，这样的理想频率响应是不可能实现的，原因是频带之间幅度响应是突变的，因而其单位抽样响应是非因果的。因此要给出实际逼近容限。数字滤波器的系统函数H(z)，它在z平面单位圆上的值为滤波器频率响应
H(ej?)，表征数字滤波器频率响应特征的三个参量是幅度平方响应、相位响应和群延时响应。
低通
Hd(ej?)
Hd(e高通
j?)
Hd(e带通
j?)
Hd(e带阻
j?
)
Hd(e全通
j?)
图2-7 各种理想数字滤波器的幅度频率响应.
3窗函数设计法
3.1窗函数设计原理分析
设数字滤波器的传输函数为H(e数。
N?1j?),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应, H(z) 为系统函
H(ej?)?1?h(n)en?0?j?n (式3.1.1)
hd(n)?2???H??d(ej?)ej?nd? (式3.1.2)
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N?1H(z)??h(n)zn?0?n (式3.1.3)
一般说来, hd(n)是无限长的,需要求对Hd(ej?)的一个逼近。采用窗函数设计法时,可通过对理想滤波器的单位采样响应加窗设计滤波器
h(n)??(n)hd(n) (式3.1.4)
其中, ?(n)是一个长度有限的窗,在区间0 ≤ n ≤ N外值为0 ,且关于中间点对称
?(n)??(N?1?n) (式3.1.5)
频率响应根据(式3.1.5) ,由卷积定理得出
H(ej?)?12?
Hd(ej?)??(ej?) (式3.1.6)
理想的频率响应被窗函数的离散时间傅立叶变换?(ej?)“平滑”了。
采用窗函数设计法设计出来的滤波器的频率响应对理想响应Hd(ej?)的逼近程度,由两个因素决定:①?(ej?)主瓣的宽度;②?(ej?)旁瓣的幅度大小。
理想的情况是?(ej?)主瓣的宽度窄,旁瓣的幅度小。但对于一个长度固定的窗函数来说,这些不能独立地达到最小。窗函数的一些通用性质为:
1、窗函数的长度N增加,主瓣的宽度减小,使得过渡带变小。
关系为:NB = C其中:B是过渡带的宽度;C是取决于窗函数的一个参数。如矩形窗为4π。调整N可以有效地控制过渡带的宽度,但N的改变不改变主瓣和旁瓣的相对比例。随着N值增加,过渡带变窄,波动频率也随着增加,虽然总的幅度有所减少,但截止频率附近的肩峰并不减少,而只是随着N值的增加,肩峰被抑制在愈来愈小的范围内,使肩峰宽度变窄。
2、窗函数的旁瓣的幅度大小取决于窗函数的选择。选择恰当的窗函数使主瓣包含更多的能量,相应旁瓣的幅度就减小。旁瓣幅度的减小,可以减少通带和阻带的波动,使通带尽可能趋近水平,阻带尽可能达到最大衰减。但通常此时过渡带会变宽。
3、取不同的窗函数对幅度特性的整形效果比单纯的增加窗口长度要强得多。 3.2设计方法
这种方法也叫傅里叶级数法。一般是先给出所要求的理想的滤波器的频率响应Hd(eN?1j?)，要
求设计一个FIR滤波器频率响应H(ej?j?)??h(n)en?0?j?n来逼近Hd(ej?)。设计是在时域进行的，
因而先由Hd(e)的傅里叶反变换导出hd(n)，即
hd(n)?12?????Hd(ej?)ej?nd? (式3.2.1)
由于Hd(ej?)是矩形频率响应特性，故hd(n)一定是无限长序列，且是非因果的，而FIR滤波器
的h(n)必然是有限长的，所以要用有限长的h(n)来逼近无限长的hd(n)，最有效的方法是截断
hd(n)或者说用一个有限长度的窗口函数序列?(n)来截取hd(n)，即
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