2010届电子信息工程专业毕业设计（论文）
h(n)??(n)hd(n) (式3.2.2)
因而窗函数序列的形状及长度的选择就是关键。
我们以一个截止频率为?c的线性相位的理想矩形幅度特性的低通滤波器为例来讨论。设低通特性的群延时为?，即
Hd(ej??e?j??,??c????c (式3.2.3) )???0,?c????,???????c这表明，在通带?≤?c范围内，Hd(ej?)的幅度是均匀的，其值为1，相位是???。利用(1)式可得
12??cc hd(n)????e?j??ej?nd???csin??c(n??)???c(n??) (式3.2.4)
hd(n)是中心点在?的偶对称无限长非因果序列，要得到有限长的h(n)，一种最简单的方法就是
取矩形窗RN(n)，即
?(n)?RN(n)
但是按照线形相位滤波器的约束，h(n)必须是偶对称的，对称中心应为长度的一半(N-1)/2，因而必须?=(N-1)/2，所以有
??hd(n),0?n?N?1h(n)?h(n)?(n)???d??0,n为其他 (式3.2.5) ?N-1????2?将(式3.2.4)代入(式3.25)，可得
?N?1??sin?(n?)????c2???ch(n)???,0?n?N?1 (式3.2.6) N?1?c(n?)?2??0,n为其他值此时，一定满足h(n)?h(N?1?n)这一线性相位的条件。
下面求h(n)的傅里叶变换，也就是找出待求FIR滤波器的频率特性，以便能看出加窗处理后究竟对频率响应有何影响。
按照复卷积公式，在时域是相乘、频域上是周期性卷积关系，即
H(ej?)?12?????Hd(ej?)ej(???)d? (式3.2.7)
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因而H(ej?)逼近Hd(ej?)的好坏，完全取决于窗函数的频率特性W(ej?)。 窗函数?(n)的频率特性W(ej?)为
N?1W(ej?)???(n)en?0?j?n (式3.2.8)
对矩形窗RN(n)，则有
sin(sin(?N2N2N?1WR(ej?)??en?0?j?n?e?j?N?12) (式3.2.9) )也可表示成幅度函数与相位函数
?j(N?12)?WN(ej?)?WR(?)e (式3.2.10)
其中
sin(WR(?)?sin(WR(ej??N2N2)) (式3.2.11)
)就是频域抽样内插函数，其幅度函数WR(?)在???2?/N之内为一个主瓣，两侧形成
许多衰减振荡的旁瓣，如果将理想频率响应也写成
j??j(N?12)?Hd(e)?Hd(?)e (式3.2.12)
则其幅度函数为
??1,???cHd(?)?? (式3.2.13)
??0,?c????3.3窗函数介绍
实际应用的窗函数，可分为以下主要类型：
1、幂窗--采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间(t)的高次幂； 2、三角函数窗--应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等； 3、指数窗--采用指数时间函数，如e?st形式，例如高斯窗等。
下面介绍几种常用窗函数的性质和特点。
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（1）矩形窗
矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为:
?1?,t?T ?(t)??T (式 3.3.1)
?0,t?T?相应的窗谱为：
2sin?TW(?)??T (式 3.3.2)
矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
图3-1矩形窗的时域及频域波形
（2）三角窗亦称费杰(Fejer)窗，是幂窗的一次方形式，其函数形式是：
?1t?(1?),t?T?(t)??TT?0,t?T? (式 3.3.3)
三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣，如图3-2所示。
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图3-2三角窗的时域及频域波形
（3）汉宁(Hanning)窗
汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为：
相应的窗谱为：
?t?111(?cos),t?T?T?(t)??T22?0,t?T? (式3.3.4)
W(?)?sin?T
?T?1?sin(?T??)sin(?T??)???2??T???T???? (式3.3.5)
由此式可以看出，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3个 sin(t)型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 π/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。可以看出，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨率下降。 （4）海明(Hamming)窗
海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数表达式为：
其窗谱为：
?t?1(0.54?0.4cos),t?T?TT?(t)???0,t?T? (式3.3.6)
W(?)?1.08sin?T
?T?sin(?T??)sin(?T??)??0.46???T?????T??? (式3.3.7)
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海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰减为-42dB。海明窗的频谱也是由3个矩形窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为20dB／(10oct)，这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数。
（5）高斯窗
高斯窗是一种指数窗。其时域函数为：
?1?at2,t?T?e?(t)??T?0,t?T? (式3.3.8)
式中a为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。a值如果选取适当，可以使截断点(T为有限值)处的函数值比较小，则截断造成的影响就比较小。高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55 dB。高斯窗的主瓣较宽，故而频率分辨率低。高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰减信号等。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。图3-3是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高。
图3-3几种常用的窗函数的时域和频域波形
对于窗函数，还有一些要求：
1）3dB带宽B，它是主瓣归一化的幅度下降到-3dB时的带宽。当数据长度为N时，矩形窗主瓣两个过零点之间的宽度为4π/N。
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