数学试题(理科)参考答案
一、BDDDC DCBAD DB 二、13. 1或-3 14.
323(1?4?n) 15. ［-1,0）∪［3,+∞） 16. ①②③
??B?m//n ?2sinB(2cos2?1)??3cos2B 三、17．解：（1）
2?sin2B??3cos2B 即 tan2B??3
又?B为锐角 ?2B??0,??
?2B?2?3 ?B??3
……………………………………6分 a?c?b2ac222 （2）?B??3,b?2，由余弦定理cosB?得
a?c?ac?4?0
22 又?a2?c2?2ac 代入上式得：ac?4（当且仅当 a?c?2时等号成立。）
1234 S?ABC?acsinB?ac?）………12分 3（当且仅当 a?c?2时等号成立。
18.解：（I）“射击三次的总环数为30”的事件记为A，“射击三次的总环数为29” 的事件记为B. ---1分 则
P(A)?0.4?0.0643，
P(B)?C30.4?0.5?0.2412. ----------------------------4分
由已知，事件A与B互斥，所以射击三次的总环数不小于29环的概率为
P(A?B)?P(A)?P(B)?0.304. -----------------------------------------------------6分
即该选手恰好射击了三次的概率为0.304. ---------------------------7分 （II）由（Ⅰ）的结果可得分布列如下
?
3 0.304
6 0．696
---------------------------------10分
P
E??3?0.304?6?0.696?5.088.
?即该选手训练停止时射击的次数的期望为5.088. ---------------------------12分
第 6 页 共 12 页
19. 解：法一：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设
,依题意得,,,
（1）易得,,
于是
所以异面直线--------------------4分
与所成角的余弦值为
（2）已知 于是 因此， 所以
平面·
,=0，,
·
=0. ,又
,
--------------------7分
（3）设平面的法向量
。
为平面
，则,即
不妨令X=1,可得 由（2）可知，
的一个法向量。
于是，从而,
所以二面角
的正弦值为 --------------------12分
第 7 页 共 12 页
法二：（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=
连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，
由 故
,可知EF∥BC1.
是异面直线EF与A1D所成的角，
易知BM=CM=,
所以 ,
所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 --------------------4分
（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为 所以 又由于
故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且
，从而
,所以
， ，
，
，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.
连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C, 所以AF⊥A1D因为 又NF 故
平面ACF, A1N
，所以AF⊥平面A1ED. ----------------7分
平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,
（3）连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,
为二面角A1-ED-F的平面角.
易知，所以，
又所以，
第 8 页 共 12 页
在
,
连接A1C1,A1F 在
。所以
所以二面角A1-DE-F正弦值为. --------------------12分
20．解：（1）由函数f(x)是偶函数可知：f(x)?f(?x)
?log4(4?1)?kx?log4(4x?x?1)?kx ?????????2分
log44?14?xx?112??2kx 即x??2kx对一切x?R恒成立 ?????????4分
?k?? ?????????5分
（2）函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点 即方程log4(4?1)?化简得：方程2?xx12x?log4(a?2?xx43a)有且只有一个实根 ??????6分
12x?a?2?243a有且只有一个实根 43at?1?0有且只有一个正根 ??????8分
x令t?2?0，则方程(a?1)t?①a?1?t??②??0?a?若a?343434，不合题意； ?????????9分 或?3 ?????????10分
?t??12，不合题意；若a??3?t??1a?112?????????11分
③一个正根与一个负根，即?0?a?1
综上：实数a的取值范围是??3??(1,??) ?????????12分 21. 解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1)????????1分
第 9 页 共 12 页
故数列{an?1}是首项为2，公比为2的等比数列。????????2分
?an?1?2，an?2?1????????????????3分
nn（2）?4b?14b12?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，?4(b1?b2???bn?n)?2nbn?????4分
2(b1?b2???bn)?2n?nbn①
2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②
②—①得2bn?1?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③????????6分
?(n?1)bn?1?2?nbn?2④
④—③得2nbn?1?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1
所以数列{bn}是等差数列 ????????8分 （3）?1an?12n?1?1?12n?1?2?112an?11a2????????????9分
设S?1a2?1a3???1an?1，则S??12a2(1?1a3???1an)?1a2?12(S?1an?1)
????11分
S?2a2?1an?1?2312?1an?1?23?????????12分
12x?lnx222.解：（1）当a
?时，f(x)?，f?(x)?x?1x?x2?1x；
对于x?[1, e]，有f?(x)?0，∴f(x)在区间[1, e]上为增函数， ∴fmax(x)?f(e)?1?e22，fmin(x)?f(1)?121212． ????3 分
（2）①在区间（1，+∞）上，函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”，则f1(x)?f(x)?f2(x)
令p(x)?f(x)?f2(x)?(a?且h（x）=f1（x） – f（x）=?1x)x?2ax?lnx<0，对x?（1，+∞）恒成立，
x22?2ax?a22lnx<0对x?（1，+∞）恒成立， ?5分
(x?1)[(2a?1)x?1]x ∵p`(x)?(2a?1)x?2a?12?(2a?1)x?2ax?1x?1 （*）
1）若a?，令p`(x)?0，得极值点x1?1，x2?2a?1，
第 10 页 共 12 页